對稱性在簡化積分計算中的應用

林樂義

【摘要】 本文總結、歸納了積分區域的對稱性（包括輪換對稱性）和被積函數的奇偶性在積分計算中的一些重要結論，并通過例題演示了這些對稱性的結論在計算積分時可以大大簡化積分計算，提高解題效率.

【關鍵詞】 積分;對稱;應用

一、引 言

在定積分的計算中，利用積分區間關于原點對稱的特點和被積函數的奇偶性可以大大簡化積分的計算量，起到事半功倍的效果.此性質經過推廣，在二重積分、三重積分、第一型曲線積分、第一型曲面積分的計算中，利用積分區域關于坐標軸、坐標面對稱的特點和被積函數的奇偶性，同樣可以大大簡化積分的計算.此外，在積分的計算過程中，利用積分區域和被積函數的輪換對稱性也可有效地起到簡化計算的作用，本文擬系統介紹這方面的結論，并舉出相關應用實例給予說明.

二、有關對稱性的結論

（一）在定積分的計算中

若積分區間關于原點對稱，則

∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函數，0，f（x）在[-a，a]上是奇函數.

（二）在二重積分的計算中

1.若積分區域D關于x軸對稱，則

D f（x，y）dσ=

2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在區域D上關于變量y是偶函數，0， f（x，y）在區域D上關于變量y是奇函數，

其中D1是區域D在x軸上方（或下方）的部分.

2.若積分區域D關于y軸對稱，則

D f（x，y）dσ=

2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在區域D上關于變量x是偶函數，0， f（x，y）在區域D上關于變量x是奇函數，

其中D2是區域D在y軸右側（或左側）的部分.

3.若積分區域D關于原點對稱，則

D f（x，y）dσ=

4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在區域D上關于變量x和y都是偶函數，0， f（x，y）在區域D上關于變量x或y是奇函數，

其中D3是區域D在第一象限的部分.

4.若積分區域D關于直線y=x對稱（輪換對稱性），則

D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2? D [f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）在三重積分的計算中

1.若積分區域Ω關于坐標面x=0對稱，則

Ω f（x，y，z）dv=

2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）關于變量x是偶函數，0，f（x，y，z）關于變量x是奇函數，

其中Ω1是Ω中x≥0的部分.

若把x換成y或z也有相同的結論.

2.若積分區域Ω關于x，y，z具有輪換對稱性，則

Ω f（x，y，z）dv= Ω f（y，z，x）dv= Ω f（z，x，y）dv

= 1 3? Ω [f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.

（四）在第一型曲線積分的計算中

1.設平面分段光滑曲線L關于x軸對稱，則

∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）關于變量y是偶函數，0，f（x，y）關于變量y是奇函數，

其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.

若把x換成y也有相同的結論.

2.設空間分段光滑曲線L關于坐標面x=0對稱，則

∫Lf（x，y，z）ds=

2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）關于變量x是偶函數，0，f（x，y，z）關于變量x是奇函數，

其中L2是L上x≥0的部分.

若把x換成y或z也有相同的結論.

3.若積分曲線L關于x，y具有輪換對稱性（當x=y時曲線方程不變），則

∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.

4.若積分曲線L關于x，y，z具有輪換對稱性（當x=y，y=z，z=x時曲線方程不變），則

∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds

= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.

（五）在第一型曲面積分的計算中

1.設分片光滑曲面Σ關于坐標面x=0對稱，則

Σf（x，y，z）dS=

2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）關于變量x為偶函數，0，f（x，y，z）關于變量x為奇函數，

其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.

若把x換成y或z也有相同的結論.

2.（輪換對稱性）若積分曲面Σ關于x，y，z具有輪換對稱性，則

Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS

= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.

三、應用舉例

例1 ??計算∫ 1 2 - 1 2? 1-x? 1-x2? dx.

分析 ?∫ 1 2 - 1 2? 1-x? 1-x2? dx=∫ 1 2 - 1 2? 1? 1-x2? dx-∫ 1 2 - 1 2? x? 1-x2? dx， 注意到積分區間關于原點對稱，其中∫ 1 2 - 1 2? x? 1-x2? dx的被積函數關于x是奇函數，所以此積分為0.而∫ 1 2 - 1 2? 1? 1-x2? dx的被積函數關于x是偶函數，由前面總結的性質可得：

原式=∫ 1 2 - 1 2? 1? 1-x2? dx-∫ 1 2 - 1 2? x? 1-x2? dx

=2∫ 1 2 0 1? 1-x2? dx=2arcsinx? 1 2 0=2× π 6 = π 3 .

例2 ??計算 D （x2-2x+3y+2）dxdy，

其中D：x2+y2≤a2.

分析 ?區域D既關于x軸對稱又關于y軸對稱，而x2關于x是偶函數，2x和3y分別關于x和y是奇函數，故：

原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy

= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy

=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.

例3 ??計算 Ω （xy+1）zdv，其中Ω為曲面

z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所圍區域.

分析 ??Ω （xy+1）zdv= Ω xyzdv+ Ω zdv，Ω關于坐標面x=0對稱，而xyz關于x是奇函數，故 Ω xyzdv=0，所以

Ω （xy+1）zdv= Ω zdv

=∫2π0dθ∫ π 4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π 8 .

例4 ??計算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L： x2+y2+z2=R2，z= R 2 .

分析 ?原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，

考慮到曲線L關于yOz面對稱，2x是關于x的奇函數，所以∮L2xds=0，同理，曲線L關于zOx面對稱，2y是關于y的奇函數，所以∮L2yds=0，所以

原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds

=∮L（R2+3）ds-∮LRds

=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π·? 3? 2 R

= 3 πR（R2-R+3）.

例5 ??計算曲面積分S（x+y+z）ds，其中S為上半球面z= a2-x2-y2 .

分析 ?曲面關于坐標面x=0，y=0對稱，而x和y分別關于變量x和y為奇函數，故S（x+y）ds=0，又S在坐標面z=0上的投影為x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2 a2-x2-y2? =? a2 a2-x2-y2? = a z ，

原式=Szds=x2+y2≤a2z· a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy

=πa3.

例6 ??計算 Ω （x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.

分析 ?積分區域是個單位球，關于x，y，z具有輪換對稱性，所以

Ω （x2+z2）dv= Ω （y2+x2）dv= Ω （z2+y2）dv，

1 3? Ω （x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv

= 2 3? Ω （x2+y2+z2）dv

= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.

例7 ??計算∮L（z+y2）ds，其中L： x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.

分析 ?由空間曲線L的方程知道，當x=y，y=z，z=x時，曲線L的方程不變，具有輪換對稱性，所以

∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，

于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，

∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，

所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.

例8 ??計算 Σ （x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.

分析 ??Σ （x+z+1）2dS= Σ （x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.

由積分曲面Σ的對稱性及被積函數為奇函數的特點，知

Σ xdS=0， Σ zdS=0， Σ xzdS=0.

又由積分曲面Σ的輪換對稱性知，

Σ x2dS= Σ y2dS= Σ z2dS= 1 3? Σ （x2+y2+z2）dS，

所以 Σ （x+z+1）2dS= 2 3? Σ （x2+y2+z2）dS+ Σ 1·dS

= 2 3 R2 Σ dS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.

通過上面這些例子的計算演示可以看出，在計算積分的過程中，如果能及時利用積分區域（區間）的對稱性和被積函數的奇偶性以及積分區域的輪換對稱性，在很多時候可以有效減少煩瑣的計算量，提高解題效率.

【參考文獻】

[1]丁蓮珍.高等數學（下冊）[M].南京：河海大學出版社，2011.

[2]徐小湛.對稱性在積分計算中的應用[J].高等數學研究，2001（1）：24-27.

[3]劉潔等.對稱性在積分計算中的應用[J].邵陽學院學報（自然科學版），2008（4）：23-27.