構造斜率的解題應用

朱帥

【摘要】 近幾年全國卷和大多數省高考卷中，有關數形結合的問題占的比例很大，靈活運用數形結合能起到事半功倍的效果.而構造斜率是數形結合中應用非常廣泛的一類.尤其是壓軸題，往往考查導數的應用，而其中又常常涉及求參數的取值范圍，如果需要分類討論，就會讓很多學生覺得無從下手，如果能將這類問題轉化為求斜率的取值范圍，借助圖形會減少許多思維過程和計算過程，達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果.

【關鍵詞】 構造;分式;斜率

一、構造斜率在數列中的應用

例1?? 在等差數列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110.

分析? 等差數列前n項和公式Sn=An2+Bn，則 Sn n =An+B可以看作關于n的一次函數.

解? ∵數列{an}是等差數列，Sn=An2+Bn，∴ Sn n =An+B，數列? Sn n? 是等差數列，點A 10， S10 10? ，B 100， S100 100? ，C 110， S110 110? 在同一直線上，由kAB=kAC，

得? S100 100 - S10 10? 100-10 =? S110 110 - S10 10? 110-10 ，∴? 10 100 - 100 10? 100-10 =? S110 110 - 100 10? 110-10 ，求得S110=-110.

點評? 本題關鍵是善于將Sn轉化為 Sn n =An+B，得到關于n的一次函數，滲透了轉化與化歸思想，培養了學生創造性的思維能力.

二、構造斜率在求值域中的應用

例2?? 求函數y= sinθ-1 cosθ-2 的值域.

分析? 我們可以把 sinθ-1 cosθ-2 看作點P（cosθ，sinθ）與點Q（2，1）兩點連線的斜率.

解?? sinθ-1 cosθ-2 可看作點P（cosθ，sinθ）與點Q（2，1）兩點連線的斜率，且點P在圓x2+y2=1上運動，過定點A作圓的兩條切線AP1，AP2，則AP1斜率最小，最小值為0，AP2斜率最大，設AP2斜率為k，則直線AP2的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0，直線AP2與圓x2+y2=1相切，圓心O（0，0）到直線AP2的距離d= |2k-1|? 1+k2? =1，求得k=0或k= 4 3 ，所以函數的值域為 0， 4 3? .

點評? 本題關鍵是觀察分式 sinθ-1 cosθ-2 的特點，發現分式可看作點P（cosθ，sinθ）與點Q（2，1）兩點連線的斜率，且點P在圓x2+y2=1上運動，從而把代數問題轉化為直觀圖形問題，簡化了計算，通過求圓的切線斜率解決問題.

三、構造斜率在不等式中的應用

例3?? 已知a，b，m都是正數，并且a<b，求證： a+m b+m > a b .

分析? 對問題我們可以把 a+m b+m 看成是經過P（b，a），Q（-m，-m）兩點的直線的斜率.即kPQ= a+m b+m ，把 a b 看成是經過點P（b，a），O（0，0）兩點的直線的斜率.即kPO= a-0 b-0 = a b .（如圖所示）

證明? 如圖所示，∵0<a<b，

∴點P（b，a）在第一象限，

且必在直線y=x的下方.

又因為m>0，所以點Q（-m，-m）在第三象限且必在直線y=x上，連接OP，PQ，則直線OP的斜率為 a b ，直線PQ的斜率為 a+m b+m .因為直線PQ的傾斜角大于直線OP的傾斜角，所以 a+m b+m > a b .

點評? 構造斜率模型解決代數問題的關鍵在于挖掘并抽象出代數表達式的斜率意義，本題中的分式形式使得斜率模型的建立具備了“先天”的優勢.

例4?? 若a= ln2 2 ，b= ln3 3 ，c= ln5 5 ，則（? ）.

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

解? 因為 lnx x = lnx-0 x-0 ，表示函數y=lnx的圖像上的點（x，y）與坐標原點O連線的斜率，如圖所示，則a=kOA，b=kOB，c=kOC，由圖像可知：kOC<kOA<kOB，即c<a<b，故選C.

點評? 本題的關鍵是觀察三個分式的特點，發現a，b，c可以作為函數y= lnx x 在x=2，x=3，x=5三點的函數值，即三條直線OA，OB，OC的斜率.也可以考查函數y= lnx x 的單調性，即利用它的導數來嚴格求解，但對于選擇題、填空題，用數形結合的思想將問題轉化為過曲線y=lnx上的點與原點的直線的斜率，問題便可直觀、簡捷地解出，但圖形須相對準確.

構造斜率只是解決恒成立問題中求參數的取值范圍的一種方法，并非適用于所有的問題，但是如果條件適合，構造斜率往往能讓我們變抽象為直觀，減少分類討論的麻煩，甚至簡化許多煩瑣的計算，達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]胡小平，章敏.構造法解數學題的功能研究[J].中學數學教學參考，2015（3x）：46-47.

[2]劉有良.構造解析幾何模型解代數問題[J].數學教學通訊，2002（s）：50-51.