探討如何在一次函數教學中培養學生的解題技能

楊國江

摘 要：一次函數是初中數學的重點，如何有效提高學生的解題技能是教學難點，本次對在不同前提條件下一次函數的解題方式進行分析，希望對初中數學教學提供參考。

關鍵詞：一次函數教學；解題技能；培養

函數指的是在一個公式里含有變量的意思，經常被用來處理文本、控制輸入或計算數值。而一次函數是函數的一種，也是初中數學代數教學的一個重點，更是高中時期學習解析幾何的基礎。初中階段學生的思維依然主要以形象思維占主導，抽象思維正在逐漸發展，對函數知識的學習，是對初中學生抽象思維的挑戰。

一、在一次函數教學中培養學生利用分類討論解題的技能

一次函數有三種表示方法，解析式法：用含有自變量x的式子表示函數；列表法：把一系列x的值對應的函數值y列成一個表來表示的函數關系；圖像法：用圖像表示函數關系。

一次函數的解析式為：f（x）=mx+b，其中m是斜率，不能為0；x表示自變量，b表示y軸截距，m和b均為常數。

一次函數和一元一次方程有相似的表達形式，但一次函數代表的是一對（x，y）之間的關系，有無數對解；而一元一次方程表示的是未知數x的值，只有一個解。一次函數與x軸交點的橫坐標代表了相應一元一次方程的根，與之相應的，一個一元一次方程組的解就是兩個一次函數的坐標。在進行一次函數解題過程中，學生可以根據對于方程組解的判定分類，討論如何解題。具體原則為：當方程組的兩直線只有一個公共點時，方程組只有唯一一個解；當兩直線平行時，無解；當兩直線有無數個共同點時，方程組有無數解。通過對這個原則的了解，在遇到一次函數問題時進行辨別，可確定符合問題條件的結論是否正確。

二、在一次函數教學中培養學生利用轉化與化歸解題的技能

轉化與化歸就是將待解決的問題通過轉化或再轉化，歸結為一個已經解決的問題，或者歸結為一個人們所熟知的具有既定方法或程序的問題，最終得到問題的解題思想。轉化與化歸的思想主要包括化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化大為小。在這個過程中，可以安排學生進行小組合作和討論，培養學生的合作意識和多角度思考問題、解決問題的能力。

例1 某商店出售兩種燈，一種節能燈功率為15瓦，單價40元，另一種白熾燈功率60瓦，單價4元。兩種燈效果一致，使用時間都在3000小時以上，問如果電費為0.5元/（千瓦·時），那么選擇哪種燈比較節省電費？

解析：設照明時間為x，節能燈的總費用為y1，白熾燈總費用為y2，則可以得出：

y1=0.5×0.015x+60

y2=0.5×0.06x+4

當y1=y2時 x=1600 當y1>y2時 x<1600 當y11600

所以當使用時間為1600小時時總費用相等，當使用時間少于1600是白熾燈便宜，當使用時間多于1600小時時節能燈便宜。

分析：該應用題其實是一次函數和一元一次不等式之間關系的解題，一元一次不等式列為ax+b>0或ax+b<0（a，b是常數且a≠0），從數的角度，可以轉變為當x為何值時，一次函數y=ax+b的值大于零或小于零；從形的角度，則可以轉變為直線y=ax+b在x軸上方或下方的圖像對應的x值。

三、在一次函數教學中培養學生運用函數思想解題的技能

有時在進行一次函數的講解時，會遇到題目中出現一次函數與正比例函數關系的應用題，此時要引導學生按照題目條件列出一次函數的表達式，然后思考與正比例函數的關系，一般來講，兩者之間的關系是：當x，y兩個變量之間可以表示成y=ax+b（a，b是常數且a≠0），則稱y是x的一次函數，當b=0時，y就是x的正比例函數。也就是說，正比例函數是一次函數的特殊形式。在進行該類應用題解答時，可以針對該特殊形式的正比例函數的解答，尋求一次函數的結果。

例2 移動公司某套餐規定為：套餐價為20元，包含免費市內通話100次（每次3min），超過這100次后，每次通話費用0.1元。求（1）每月電話費（元）y與通話次數x（大于100次）之間的函數關系；（2）求出月通話200次的話費；（3）假設某個月話費為54元，求該月的通話次數。

解析：（1）：可得出y=20+（x-100）x0.1=0.1x+10；

（2）：當x=200時，y=0.1x200+10=30；

（3）：因為54>20，所以通話次數肯定多于100次， 也就是說在y=54時，求解x的值。得出54=0.1x+10，得出x=340.

四、結語

在進行一次函數的解析時，有多種解題思路，教師可以引導學生在了解一次函數和其他知識點關系的前提上，利用分類討論、轉化和化歸以及函數的思想，將題目變成更加簡單易懂的形式，比如一元一次方程，這樣可以提高解題效率。

參考文獻：

[1]邵密.如何在一次函數教學中培養學生的解題技能[J].語數外學習（初中版中旬），2013，（1）：47.

[2]張美英.關于初中數學一次函數教學的研究[J].新課程（中），2016，（07）：87.