圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用分析

摘 要： 圓錐曲線參數方程作為高中數學中的重點知識內容之一，在數學解題過程中應用廣泛，需要學生在掌握基本方法的基礎上學會靈活運用。本文將對圓錐曲線參數方程的應用要點進行簡單分析，進而探討基于圓錐曲線參數方程的解題過程，包括求解最值問題、求解三角形問題和求解范圍問題等。

關鍵詞： 圓錐曲線參數方程；高中數學；解題方法

圓錐曲線參數方程是幾何與函數的結合，可以利用圓錐曲線定義中圓錐曲線上的點和兩焦點之間的性質關系進行解題，通過建立數形結合思想、等價轉換思想等，對題目進行簡化，抓住題目求解的關鍵，進而快速、準確地完成解題過程。近年來，圓錐曲線參數方程的相關問題一直在高考中占有較大比重，是學生必須掌握的知識內容。有必要對其解題方法的具體應用策略進行分析，幫助學生掌握正確的解題策略。

一、 圓錐曲線參數方程的應用要點

在高中數學學習過程中，各知識點（如圖）之間有密切的聯系性，在學習圓錐曲線方程及其運用方法的過程中，也需要與之前學習的知識內容聯系起來，從而做到對各種性質定理和解題方法的靈活運用。

圓錐曲線參數方程知識點

圓錐曲線參數方程的知識內容不是孤立存在的，具備扎實的數學基礎，有助于增進對圓錐曲線參數方程的理解。總體而言，圓錐曲線參數方程是利用函數方程表示曲線上的任意一點，在平面直角坐標系下，利用x，y構成的方程組確定曲線上的點的二維坐標。在學習和運用這部分知識時，要求學生具備一定的數學思維能力，包括觀察能力、空間幾何能力、發散性思維能力等。在準確捕捉題目中所給條件和求解目的的同時，利用參考曲線圖形或自己畫出的草圖，建立曲線圖形與參數方程之間的直觀聯系，從而快速找出解題重點，求解出正確答案。通過圓錐曲線參數方程知識的學習和應用，培養從圖形到方程、從方程到數字的轉化能力。

二、 圓錐曲線參數方程在求解高中數學題中的具體應用

（一） 求解最值問題

求解最值問題屬于圓錐曲線參數方程的常見類型題，通過采用典型題聯系方法，可以達到舉一反三的效果，幫助學生快速提高此類問題的求解能力。

比如在例題1中：“橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），在橢圓內接一個四邊形ABCD，各邊均與坐標軸平行，求解四邊形ABCD的最大面積和最大周長。”

首先根據題目進行分析推斷，打開思路，采用創新性思維，通過與其他知識內容聯系在一起，尋找求解圓錐曲線參數方程問題的突破口。根據題目已知條件，首先假設A點坐標為（acosθ，bsinθ），由于題目中說四邊形ABCD的各邊均與坐標軸平行，可以推斷該四邊形為矩形，因此，四邊形ABCD的面積可以用S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ進行表示，當sin2θ取最大值時，S取得最大值，由于sin2θ最大值為1，此時Smax=2ab。同理，四邊形ABCD周長可以用L=4（acosθ+bsinθ）=4（a2+b2） 1 2 sin（θ+β）表示，sinβ= a a2+b2 ，cosβ=

b a2+b2 ，當sin（θ+β）取最大值1時，Lmax=4 a2+b2 。

（二） 求解三角形問題

在高中數學圓錐曲線參數方程運用過程中，其本身具有一定的難度，對學生學習能力提出了較高要求。在具體解題過程中，應具備探索性思維，通過主動思考，或采取小組合作學習等方式，提升解題能力。圓錐曲線參數方程涉及到許多復雜性較高的復合型題目求解，在解題時不能拘泥于方法或公式的應用形式，而應完成知識的內化過程，把握好解題總體思路。

比如在例題2中：“已知雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）上任意一點P，∠F1PF2=θ，求解△F1PF2的面積。 ”

在求解該題時，需要結合正余弦定理，并利用三角形面積公式進行求解。根據三角形面積公式，S= 1 2 |PF1|×

|PF2|sinθ，根據圓錐雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|×|PF2|=4a2，進而可以推導出|PF1|×2|PF2|= 2b2 1-cosθ ，將其帶入三角形面積公式后，可以求解出S= b2sinθ 1-cosθ =b2cot θ 2 。

（三） 求解范圍問題

高中階段的數學學習強調發揮學生的自主學習能力，通過深入開展自主探究和合作探究，并對學習過程進行反思，及時發現學生在學習過程中存在的問題，同時積累經驗和教學，促進解題能力的提高。在圓錐曲線參數方程的學習過程中，逐漸掌握靈活的解題方法和技巧，針對不同問題，采取不同的求解方法。

比如在例3中：“已知橢圓方程 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）與x軸正半軸的交點為M，如果存在一點N，有ON垂直于MN，求橢圓離心率。 ”

在求解此題的過程中，設M點坐標為（a，0），N點坐標為（acosθ，bsinθ），根據題目已知條件構建圓錐曲線參數方程，結合ON⊥MN，有（bsinθ/acosθ）×（bsinθ/acosθ-a）=-1，簡化后可以得到b2/a2=1-1/（1+cosθ）。與方程b2=

c2-a2聯立，可以確定離心率e的范圍為 2 2

三、 結束語

綜上所述，通過對應用圓錐曲線參數方程求解問題需要具備的基礎知識和數學思維能力進行分析，可以幫助學生有目的地提高相關知識技能水平，從而更好地學習和應用圓錐曲線參數方程知識。在此基礎上，通過將新舊知識相結合，靈活運用圓錐曲線參數方程的相關性質定理，可以求解多種數學問題，同時達到培養學生空間幾何能力和邏輯思維能力的效果。

參考文獻：

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[2]陶蘋麗，童嘉森.參數方程在圓錐曲線中的應用[J].高中數理化，2015（1）：1-2.

作者簡介： 廖春龍，廣東省韶關市，始興縣始興中學。