發現素養：重構小學數學“發現學習”新范式

沈慧

摘 要：發現素養是學生數學核心素養的重要組成部分，內含學生學習的內在動機、直覺思維和自主反思。發現學習是學生素養的培育路徑，發現素養是發現學習的價值取向。在數學教學中，教師要搭建學生發現學習平臺，遵循學生發現學習的規律，拓展學生發現學習的可能，努力讓學生數學學習處于發現狀態，從而獲得數學學習的高峰體驗。

關鍵詞：發現學習；發現素養；展開過程

當下，培育學生數學核心素養已經成為數學教學的價值取向。數學核心素養內容豐富，其中包括學生的“發現素養”。數學教學應當弱化基于灌輸、記憶、再現等形式的“接受學習”，增強基于自主探究、理解和運用的“發現學習”。美國著名數學教育家G·波利亞在《數學與猜想》中深刻地指出，“在證明一個數學定理以前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全做出詳細證明之前，你得先推測證明的思路”。在數學學習中，許多學生常常“不知道問題在哪里”，也“不知道能否解決”，更不知道“用什么方法去解決”。教師是培養學生“被動式吸收”，還是“引爆”學生隱藏著的提出“哥德巴赫猜想”的潛質？答案是顯然的。數學教學應當創設有意義的情境，讓學生明確所要解決的問題，激發學生的探究欲望，引導學生的自主探究、合作，讓學生經歷數學知識的“再創造”（創造）的數學發現過程，切實培育學生的數學發現素養。

一、發現素養：發現學習的價值取向

所謂“發現學習”，是指教師在數學教學中以學生為主體，以學生“學”為中心，讓學生進行自主探索、合作與交流的過程。學生的發現學習過程是一個十分復雜的過程，需要經歷從現實題材到數學問題再到數學模型的過程；經歷從動作操作到表象操作再到符號操作的過程；經歷從簡單結構到復雜結構的過程。其間，學生或許還會碰到“山重水復疑無路”的束手無策的境況，甚至還會出現“病急亂投醫”的情形等，這些都是學生發現學習中的現象可能。作為教師，要積極引導學生的數學發現，培育學生的發現素養。

1. 內在動機

學生的發現素養包括學生的學習動機，即學生的發現學習不是被動的，而是積極、主動的過程。學生的學習動機有內在的動機和外在的動機。其中，內在動機也就是對數學學習材料本身的興趣是數學教學的動力之源。教學中，教師要運用數學本身的魅力去激發學生數學學習的好奇心、求知欲，激發學生數學發現的動力引擎。比如教學《3的倍數的特征》（蘇教版小學數學五年級下冊），教師可以出示一張“百數表”，學生在上面圈出3的倍數的數，能夠發現這些數的排列不同于2的倍數的數和5的倍數的數，2、5倍數的數都在同一列，而3的倍數的數卻位于斜線上。由此激發學生的數學猜想，引發學生自主探究3的倍數的數的特征。可見，學生的數學學習動機是啟動、保持數學探索、數學發現的恒久動力。

2. 直覺思維

學生的數學發現需要一種“敏感性精神”。所謂“敏感性精神”，是指“在一瞥之下看出整個事物來而不靠推理過程”（帕斯卡爾），這就是一種數學直覺思維，是一種未經分析、沒有清晰步驟，而對問題本質的頓悟，是一種靈感。直覺思維依賴于數學觀察、數學類比、數學聯想等非邏輯、非推理性的數學直感。比如教學“9加幾”（蘇教版數學一年級上冊），教師可以創設問題情境：盒子里面有9個蘋果，盒子外面有4個蘋果，一共有幾個蘋果？有孩子能夠不假思索地認為，將盒子外面移動1個蘋果到盒子里面，盒子里面湊成10個。同樣，教學“8加幾”，學生能根據直覺思維，看到8個，要移動2個；同樣的，看到7個，要移動3個，等等。這種直覺思維蘊含著湊十法的數學思想底子，是學生基于已有知識經驗，受到情境啟發而自然誕生的一種數學直感。

3. 自主反思

如果說內在動機著眼于學生數學學習的前期狀態，直覺思維著眼于數學學習的中期狀態，那么自主反思就是著眼于數學學習的后期狀態。這是一種對過往實踐或者心理活動的省察，是一種“自知的智力”，有時候往往能夠促進學生的靈感生發，助推學生的數學發現。比如，在教學蘇教版數學三年級下冊的《認識面積》，學生的反思就可以催生學生的發現。如“不能直接比較兩個圖形的大小，怎么辦？”“不同的圖形，怎樣才能讓測量出來的面積具有可比性？”“怎樣建立標準的面積單位？”等等。正是在不斷地自主反思、自主追問中，揭示出誕生面積單位、統一面積單位、標準化面積單位的必要性。這樣的自主反思，催生著學生的數學發現。在自主反思中，學生才真正地參與到數學學習中來，成為一名真正的數學發現者。

發現素養是學生在生命成長過程中逐步發展起來并作用于學生成長過程的重要素養。在數學教學過程中，教師要凝練發現目標，開放發現過程，促進學生深入地發現。“發現學習”要以學生為中心，精心設計學程，讓數學課堂成為學生思維生長的樂園和數學發現的場所，從而發展學生數學發現素養。

二、發現學習：發現素養的培育路徑

學生的數學發現素養并不是與生俱來的，而是在發現學習活動中生成的。培養學生的發現素養，需要讓學生帶著經驗、思維和想象進入數學發現學習。學生在好奇心和求知欲的驅動下，能夠進行自主發現、探究，并且獲得數學化的思想方法。學生的數學發現學習必須遵循學生發現活動的心理規律，有意識、有計劃、有目的地進行。

1. 搭建發現學習的平臺

實施“發現數學”，需要教師搭建學生數學發現學習的平臺。為了引導學生進行數學發現，教師應該把脈學生的知識經驗，找準學生數學發現的心理起點；應當創設情境，點亮學生發現的數學眼光；應當給學生提供豐富的學習材料，夯實學生數學發現的沃土。比如教學《長方體和正方體的認識》（蘇教版數學六年級上冊），教師可以設置任務，驅動學生的數學發現。任務一：切一切。（友情提醒：先沿著豎直方向切一刀，你發現了什么？再換個方向切一刀，你又發現了什么？然后再換個方向切一刀，你還發現了什么？）任務二：看一看，摸一摸，你發現了什么？任務三：搭一搭。你一共用了多少根小棒？這些小棒的長度有怎樣的特點？通過任務驅動，給學生搭建了一個在自主發現的時空。在這個時空下，學生自然建構出“面”“棱”“頂點”的概念，建構出“面”“棱”“頂點”的特征，等等。在這個數學發現的過程中，有爭辯、有質疑、有挑戰等，這些都是學生數學學習深度發現的重要組成部分，是學生數學發現素養生成、發展的根基。

2. 遵循發現學習的規律

學生的數學發現不是直接接受數學的結果，而是必須經歷數學發現的過程。這個過程離不開學生數學發現的心理規律，也離不開數學發現的一般流程。因此，在學生數學發現學習的過程中，教師要從學生的一般認知規律出發，讓學生經歷提出問題、分析問題、解決問題、反思問題的一般步驟，設計出靈動、自然、深入的發現路徑，開啟、引導學生的數學發現。比如教學《簡易方程》（蘇教版數學五年級下冊），教師可以通過天平的平衡與不平衡狀態，天平托盤里有無物品，得到多個式子：x+50>100，x+50=150，50+50=100，50+100>120等。由于數學材料的結構性，能夠催生學生對這些式子進行分類，有的按照有無未知數進行分類，有的按照是否是等式進行分類，如此，形成四類式子：沒有未知數的等式；含有未知數的等式；沒有未知數的不等式；含有未知數的不等式。由此自然揭示方程的本質——“含有未知數的等式”。學生經歷了“觀察—分類—歸納”的發現過程，能夠感悟到數學知識的本質內涵。

3. 拓展發現學習的可能

數學發現的目的是運用，同時，數學運用也能產生數學發現。在數學教學中，教師要引導學生主動、創造性地遷移已有的數學思考、探究方法，尤其是要突破學生的數學思維定式，不斷拓展學生數學主動發現的可能。只有拓展學生發現學習的可能，學生才能在數學學習中舉一反三、觸類旁通。比如教學《解決問題的策略一一列舉》（蘇教版數學五年級上冊），有這樣的一道習題：同學們玩套圈游戲，套中紅瓶得8分，套中藍瓶得5分，套中黃瓶得2分。小龍套中兩次，可能得多少分？（列舉出所有可能的答案）筆者在教學中，對之進行合理變式，層層深入。

問題1：小龍投中一次，可能得多少分？

問題2：小龍投了一次，可能得多少分？

問題3：小龍投中兩次，可能得多少分？

問題4：小龍投了兩次，可能得多少分？

由此，不僅喚醒了學生的相關經驗，讓學生理解了“一一列舉”“有序列舉”“分類列舉”的策略，而且讓學生發現了“投中”與“投了”的區別。在問題鏈的導引下，學生的數學思維逐步走向深刻、靈活。數學的變式運用，提升了學生數學學習的思維含量。

諾貝爾物理學獎獲得者謝爾登·格拉肖在回答“培養一個杰出的科學人才的關鍵是什么”這個問題時說：“我認為關鍵在于讓年輕人停止當學生，使他們開始成為物理學研究者。”發現學習，一方面沿著數學學科知識的生發歷程，另一方面按照學生認知數學知識的規律展開教學，努力讓學生的數學學習處于發現狀態。教師要搭建學生數學發現的平臺，遵循發現學習的規律，拓展學生發現學習的可能，讓學生獲得數學學習的高峰體驗。