注重整體關聯，促進深度學習

呂同林

摘 要：

數學教師應該注重整體關聯，基于數學的整體結構，利用知識、方法以及探索路徑之間的聯系開展教學活動，

讓學生從已有經驗出發，在自主探索中自然建構，層層深入，“既見木又見林”

。以《探索三角形相似的條件》一課為例，說明：基于關聯，讓“數學化”自然而清楚；整體建構，讓“結構鏈”完整而堅固；經歷過程，讓數學本質明晰而透徹；開放探索，讓數學思考深化而靈動。

關鍵詞：數學教學 整體性 關聯性 三角形相似的條件

數學知識、方法之間具有較強的關聯性、相似性，數學結構又有一定的整體性、邏輯性。而當前數學教學一般按照教材編寫的章節和課時順序逐一推進，知識的呈現碎片化和單一化，習題的應用也具有明顯的指向性，教學內容的關聯性和整體性顯得不足。這導致學生解決問題的思路、方法單一，知識、方法之間的有效遷移能力不足，整體感知、理解問題和綜合把握、運用知識的能力有所欠缺。不少教師雖然會在課時小結以及單元總結環節花費一定的時間和精力，但是能力提升的效果事倍功半。

很多專家學者認識到現有教學方式的不足，普遍倡導數學教學的“整體性”和“聯系性”。章建躍博士指出：“數學教學必須注重數學的整體性。從教的角度說，把握好整體性，才能有準確的教學目標，才能把數學教得本質而自然，教學行為才能‘準‘精‘簡，才能充分發揮數學的育人功能；從學的角度看，注重整體性，才能了解知識的源頭、發展和去向，才能掌握不同內容的聯系性，既學到‘好數學，又學得興趣盎然。”

筆者在教學實踐中認識到：注重整體關聯，基于數學的整體結構，利用知識、方法以及探索路徑之間的聯系開展教學活動，讓學生從已有經驗出發，在自主探索中自然建構，層層深入，“既見木又見林”，符合數學的學科特性以及學生的認知規律，能夠幫助學生厘清數學脈絡，明晰數學本質，促進深度理解，獲得有效遷移，進而發展數學品質，提升數學能力。下面以《探索三角形相似的條件》一課為例，進行說明。

一、教學案例

（一）教學思考

蘇科版初中數學教材將“相似三角形”內容安排在九年級下冊。其編排結構與八年級上冊的“全等三角形”內容相同：定義—判定—性質—應用。其中“探索三角形相似的條件”一節共安排了5個課時的教學內容：第1課時“平行線分線段成比例”、第2～4課時“三角形相似的判定”（三個判定逐一展開）、第5課時“重心概念等”。

學習本節內容之前，學生已經學習了三角形、四邊形以及圓的相關知識，積累了圖形性質和判定的探究經驗，同時也具備了一定的觀察、分析以及猜想、論證數學現象和規律的能力。學生之前具備的“一般→特殊”“特殊→一般”的圖形探究活動經驗，為三角形相似條件的探索和整體建構提供了可能：三角形全等是三角形相似的特殊形式，三角形相似是三角形全等的一般形式，全等三角形的判定自然就是相似三角形判定的探索之源。因此，立足“全等”探索“相似”，是由“特殊”走向“一般”的思維活動，是貼近學生“最近發展區”的數學探究學習。

基于以上思考，筆者按照“注重整體關聯，自主探索，建構三角形相似條件”的教學思路，將“三角形相似的三個判定”的教學放在一節課內完成：設計“問題串”，引導學生自主思考、交流匯報，并適時對學生進行點撥。

（二）教學（問題）設計

1.回憶聯想——關聯奠基。

問題1 目前為止，你有哪些判定三角形相似的方法？

問題2 探索三角形相似的條件可與學過的哪些內容建立聯系？

問題3 從三角形全等的條件到三角形相似的條件是加強還是弱化？你能說說道理嗎？

設計意圖：問題1意在引導學生回顧三角形相似的定義和預備定理，激活學生的已有經驗，為探究和證明三角形相似的判定奠定基礎。問題2意在引導學生建立與

三角形全等的聯系，分析其一般性和特殊性，感悟三角形相似判定的必要性和可能性。問題3意在引導學生聯想四邊形、三角形中“一般與特殊”的關系，感受條件的加強與弱化的一般化思考經驗，形成全等到相似（特殊到一般）條件的弱化意識和探究的欲望。

2.整體推進——關聯探究。

問題4 三角形全等條件（“ASA”“AAS”“SAS”“SSS”）如何弱化？

問題5 基于上述弱化條件的思路，將“ASA”“AAS”“SAS”“SSS”逐一弱化，并將你的結論用語言表達出來。

問題6 根據弱化后的條件探究其能否判定三角形相似？說說你探究問題的方法和依據。

問題7 結合圖形用符號語言總結歸納三角形相似的判定方法，并與同伴交流。

設計意圖：四個問題不斷深入，引導學生關注三角形全等條件的弱化方向，比如條件數量的減少以及對應邊關系的一般化；經歷弱化過程，感受三角形相似需要兩個條件來判定；通過特殊三角形、一般三角形畫圖驗證猜想，然后利用推理論證的方式得出結論：“ASA”和“AAS”轉化為“兩角分別相等的兩個三角形相似”，“SAS”轉化為“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，“SSS”轉化為“三邊成比例的兩個三角形相似”。

這里，要注意探究視角和方法的多樣性；還要結合圖形用文字語言和符號語言陳述定理內容，通過圖形、文字語言、符號語言的轉換，進一步提升學生的數學表達和推理能力。通過這樣的“從特殊到一般”的探究活動，幫助學生整體認識和建構

三角形相似的三種判定，深化數學理解，提升數學思維。

3.開放應用——關聯優化。

問題8 判斷下列三角形是否相似。

（1）兩個等邊三角形；

（2）兩個等腰三角形；

（3）頂角相等的兩個等腰三角形；

（4）有一個角為40°兩個等腰三角形；

（5）△ABC與△DEF中，∠A=40°，AB=1，AC=3，∠D=40°，DE=2，EF=6；

（6）△ABC與△DEF中，∠A=30°，∠B=70°，∠D=30°，∠E=80°。

問題9 如圖1，添加適當的條件使△ACD與△ABC相似。說說你的方案和依據。

問題10 如圖2，你能根據圖形編擬一道利用相似三角形解決的問題嗎？

設計意圖：本環節主要探索三個判定的選擇和使用。問題8直接運用相似條件進行判定。問題9、10具有開放性，充分調動學生主體參與數學活動的積極性和思考力，發掘知識之間的聯系性。問題9可以借助圖中隱藏的元素——公共角相等，添加另一組角相等或夾公共角的兩邊成比例的條件。問題10編擬的問題源于相似，可以先給定判定相似的條件，再利用相似的對應邊、對應角的性質研究邊或角的關系。通過這樣的條件增補和問題設計，調動學生的數學思維活動經驗，深化其對相似條件的理解，優化學生的數學智能結構，提升其應用數學的能力。

4.小結思考——關聯深化。

問題11 本節課研究問題的路徑是什么？你有哪些收獲和困惑？

問題12 如何選擇適當的條件判定兩個三角形相似？

設計意圖：問題11回顧本節課的研究路徑，形成

“由特殊到一般”以及“由一般到特殊”的研究思路，突出數學知識的“縱向數學化”，引領學生感悟和經歷條件弱化和加強的過程以及思維視角，促進對數學的深刻理解。問題12相似條件的選擇，是基于數學思考的角度，優化學生的數學思考方式，提升其整體理解和運用相似判定的能力，促進其數學活動經驗的積累和升華。

二、教學啟示

基于整體關聯的數學探究學習活動，緊扣數學學習內容的關鍵要素，整體把握數學知識之間的本質聯系，從而使學生獲得穩定而牢固的數學知識，感受新的思想和方法。這樣的學習高于一般意義的記憶和理解層面，能使學生的思維方法不斷優化，思維品質不斷提升，思辨能力不斷加強，高階思維得以發展。

（一）基于關聯，讓“數學化”自然而清楚

弗賴登塔爾指出：“數學學習主要是進行‘再創造‘數學化。在數學教育中，應當特別注意這個數學化的過程，培養學生自己獲得數學的態度，構造他們自己的數學。數學學習活動是一個螺旋生長的過程。學生數學學習之前，經歷過生活中的一些數學現象以及腦海中已有的數學知識和方法，在學習展開的過程中，及時分析生活現象中的數學特征進行橫向數學化，將已有的數學知識和方法等進行縱向數學化，并經過比較、推演等活動建構和生長新的數學知識。”突出知識之間的聯系，可以促進數學理解的深入，形成穩定且牢固的數學結構。

在本節課探索三角形相似的條件之前，學生已經擁有了三角形全等的判定知識和探究經驗，對于“由特殊到一般”關系的研究也具有一定的探索經歷，如“四邊形→平行四邊形→矩形（菱形）→正方形”“三角形→等腰三角形（直角三角形）→等邊三角形（等腰直角三角形）”，條件之間的加強或弱化關系明晰。基于這些數學活動經驗，通過弱化三角形全等條件的過程來探索三角形相似的條件，自然而清楚。

關注新、舊知識之間的聯系，讓新知識的生成有依有據、有情有理，這樣的學習是靈動而深刻的。

（二）整體建構，讓“

結構鏈”完整而堅固

布魯納說過：“知識如果沒有完美的結構把它連接在一起，那是一種多半會遺忘的知識。”整體把握數學學習內容，可以形成結構化的數學知識和方法鏈，洞悉數學脈絡，深度理解數學。

“探索三角形相似的條件”一節，蘇科版教材分多個課時編排，一是基于知識逐步呈現的方式，二是基于難點分散的需要。但是這樣的教學易形成知識的碎片化，使知識的系統性和連貫性有所缺失。筆者采用“從特殊走向一般”的教學設計，將全等的四個判定（“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）弱化為相似的三個判定（兩角分別相等，兩邊成比例且夾角相等，三邊成比例）。這樣的整體推進和建構，讓推演過程精煉簡約、一氣呵成，讓知識“結構鏈”

完整而堅固。此外，作圖感知、推理論證互相關聯，讓學生的數學理解甚為透徹。

基于數學知識整體建構活動，讓學生對新知識的理解有層次、有厚度，這樣的學習是生動而深入的。

（三）經歷過程，讓數學本質明晰而透徹

數學的深度學習離不開數學概念、定理、法則的探索過程。概念的內涵、外延，定理、法則的適用條件、結論等揭示了數學對象的本質。教師要讓學生在規律探索的活動中，疑、思、表達、完善，積累觀察、猜想、分析、比較、歸納、演繹等數學活動經驗，不斷深化數學理解。

本節課中，三角形相似的條件從三角形全等的條件推演而來，經歷“從特殊到一般”的條件弱化過程：從全等圖形邊、角對應相等到相似圖形邊成比例、角對應相等，或從所需條件的數量等方面不斷減弱。如對全等條件“ASA”，一方面弱化邊得到“AA”，另一方面減少角得到“A”，分析是否相似。學生依據弱化條件分別舉例，得出一角相等的兩個三角形不一定相似。對于兩角對應相等的兩個三角形可通過特殊（如三角板）初步感知相似性，再研討一般（如兩角分別為40°、70°的兩個三角形，兩角分別為α、β的兩個三角形），接著通過作圖以及同桌相互比對活動，進一步感受圖形的相似性，最后思考并完成推理論證，得出“兩角分別相等”的相似條件。接著再用同樣的方法變換：“AAS”→兩角分別相等，“SAS”→兩邊成比例且夾角相等，“SSS”→三邊成比例，并逐一論證。

學生親身經歷數學規律的探索活動，自主思考、探究、整合、加工，形成知識；在數學探索活動中感受數學家般的創造過程，品嘗“酸甜苦辣”滋味，樂此不疲。這樣的學習關注數學活動，聚焦數學本質，突出數學理解。

（四）開放探索，讓數學思考深化而靈動

深度學習尤其關注知識、方法的有效遷移和問題解決，這是高階思維發展的重要標志。學生能否在理解的基礎上將習得的數學思想方法真正融入自己的知識結構和體系中，其對新問題的解決是最好的考量。

本節課中，三角形相似條件的探索活動結束后，筆者設置了具有開放特征的兩個問題：問題9意在讓學生利用所學和所知選擇合適的條件判定三角形相似；問題10意在讓學生利用三角形相似的判定自主編擬所欲解決的問題，把學生的思考引向深入。在問題9中，學生可以利用隱含的公共角相等的條件，增補一個合適的條件，如另外的一組角相等或夾公共角的兩邊成比例來確定三角形相似。這樣的活動有助于學生深入理解判定條件，整體認識和優化判定方法，提升判定的選擇和應用能力。在問題10中，學生可以利用圖形關系，設定相關的條件，建構相似，再利用相似解決邊、角的關系，問題的設置可以是判定、計算、說理。學生在探索活動中，進一步提升思維力，增強知識應用的靈活性。

在開放的情境里，學生能夠自由思想，自主內化、整合數學知識，優化數學方法，進而形成創新素養。

參考文獻：

[1] 章建躍.注重整體性才是好數學教學[J].中小學數學（高中版），2012（4）.

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