穿插故事情節 生動數學課堂*
——將數學課堂“故事化”的初探

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(太湖高級中學,江蘇 無錫 214125)

數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具，是一門邏輯性較強的自然科學.由于高中數學知識概念抽象、思維要求高、習題類型多、解題技巧靈活多變、計算復雜等原因，導致部分學生學習數學的熱情不高.為了改變這種狀況，尋找可突破的途徑，筆者做了大膽的嘗試，在課堂教學中穿插故事情節，激發學生學習數學的興趣[1].在觀看電影時，生動的故事情節往往能使我們產生強烈的好奇心，讓我們全神貫注，當我們回憶的時候，很多情節都能記憶猶新.如果教師的課堂教學也有此屬性，那么學生定能對數學學習充滿興趣.現以“極大值與極小值”為例撰寫成文，與同行交流.

1 故事情節構思

1)故事的設想是：在教師的帶領下，全體學生向新知領域前進，在探索的過程中定會遇到艱難險阻，需細心謹慎，迎難而上，才能突破重重阻礙，到達成功的彼岸.

2)故事的情節發展的關鍵詞：①回首：回首瞭望所走過的路(復習舊知)；②撤步：從所熟悉的地方(知識)出發；③前行：遇見新東西(新知)；④慢步：走慢一些，觀察了解周圍的環境(感悟新知)；⑤遇水：前行過程中遇到了險阻(困難)；⑥輕舟：為了成功到達彼岸，必須制造渡河工具(求函數極值的方法)；⑦擊水：有了渡河工具，便可去中流擊水(掌握函數極值的求法)；⑧逐浪：在擊水過程中，遇到風浪當迎難而上(掌握“f′(x0)=0”與“f(x0)是函數的極值”之間的關系)；⑨破浪：沖破險阻(運用知識解決問題)；⑩弄潮：順利到達成功的彼岸，讓學生談談本節課的收獲.

2 教學流程簡介

2.1 回首

師：同學們，上節課我們利用導數來研究函數的單調性問題，請大家回顧一下：用導數求函數y=f(x)單調遞增區間的基本步驟是什么？

生1：1)明確函數的定義域；2)求出導函數f′(x)；3)解不等式f′(x)>0；4)由函數定義域與不等式f′(x)>0解集的交集，可得函數的單調遞增區間.

師：很好！同樣，令導函數f′(x)<0，由函數定義域與不等式f′(x)<0解集的交集，可求出函數的單調減區間.

2.2 撤步

生2：先求函數f(x)的導函數f′(x)=x2-1，再令f′(x)>0，得x<-1或x>1，因此該函數的增區間為(-∞,-1)，(1,+∞)，同理可得該函數的減區間為(-1,1).

師：很好！請大家思考，當自變量x變化時，函數值y是怎樣變化的？

(教師通過投影展示學生所作圖像，如圖1).

生3：當x∈(-∞,-1)時，y隨x的增大而增大；當x∈(-1,1)時，y隨x的增大而減小；當x∈(1,+∞)時，y隨x的增大而增大.

圖1

師：很好！從函數單調性的變化情況來看，自變量x在哪些位置是特殊的？

生4：當自變量x=±1時，可能有些特殊.

師：請你說說當自變量x=-1時，為什么是特殊的？

生5：函數f(x)在x=-1的左側是單調遞增的，在x=-1的右側是單調遞減的，故x=-1是函數f(x)單調性的分界點.

師：“分界點”這一詞說得很好.還有其他看法嗎？

生6：它是函數單調性的轉折點，在這一點函數的單調性出現反轉，由遞增變遞減.

師：“轉折點”這一詞說得也很好，兩位同學都是從“形”的角度思考的，能否從“數”的角度思考呢？

生7：這一點的函數值比它附近點的函數值都大.

師：是函數的最大值嗎？

生8：不是.

師：那是什么呢？這就是我們今天學習的新知識——極大值.本節課我們主要來研究可導函數的極大值與極小值.

蘇教版《數學(選修1-2)》第76頁明確指出：如無特殊說明，本章所涉及的函數都是可導函數.

2.3 前行

圖2

師：結合圖2，誰能給出極大值的定義呢？

生9：函數在點P處從左側到右側由“上升”變為“下降”，這時在點P附近，點P的位置最高，也就是說f(x1)比它附近點的函數值都要大，可稱f(x1)為函數f(x)的一個極大值.

師：誰能給出極小值的定義呢？

生10：函數在點Q處從左側到右側由“下降”變為“上升”，這時在點Q附近，點Q的位置最低，也就是說f(x2)比它附近點的函數值都要小，可稱f(x2)為函數f(x)的一個極小值.

師：函數的極大值與極小值統稱為函數的極值.

2.4 慢步

圖3

師：如圖3，觀察函數f(x)的圖像，請你說出圖中的極大值和極小值.

生11：極大值是f(x1)與f(x3)，極小值是f(x2)與f(x4).

師：可見函數f(x)的極大值(極小值)不一定是唯一的，函數f(x)的極大值一定大于它的極小值嗎？

生12：不一定，由圖3可知極大值f(x1)小于極小值f(x4).

師：由此可見，一個函數的極大值與它的極小值之間沒有必然的大小關系.這是因為極值是一個局部的概念.

2.5 遇水

師：前面我們研究了函數單調性與導數值的正負之間的關系，現在請大家思考函數極值與導數值之間又有什么關系呢？

生13：由圖3可知，若f(x1)為函數f(x)的一個極大值，則f′(x1)=0;若f(x2)為函數f(x)的一個極小值，則f′(x2)=0.

師：為什么呢？

生14：因為x1的左側函數遞增，導數值為正，右側遞減，導數值為負，導數值由正到負，故f′(x1)=0.

師：很好！還有其他的解釋嗎？

生15：因為在x=x1處切線平行于x軸，其斜率為0，故f′(x1)=0.

師：很好！同樣，在x2的左側函數遞減，導數值為負，右側遞增，導數值為正，導數值由負到正，故f′(x2)=0.你能用自己的語言總結一下函數極值與導數值之間的關系嗎？

生16：如果f′(x0)=0，且在x0的兩側導數值為左正右負時，那么f(x0)是函數的極大值；如果f′(x0)=0，且在x0的兩側導數值為左負右正時，那么f(x0)是函數的極小值.

師：很好，可簡記為口訣：左正右負，函數取得極大值；左負右正，函數取得極小值.

2.6 輕舟

師：如何求函數y=f(x)(其中x∈(a,b))的極值？

生17：1)先求方程f′(x)=0的根x0∈(a,b)；2)再利用口訣求極值.

2.7 擊水

例1求函數f(x)=x2-x-2的極值.

師：請大家思考例1.

2.8 逐浪

師：由以上可知，若f(x0)是函數f(x)的極值，則必須滿足兩個條件：1)f′(x0)=0；2)在x0的左右兩側導數值是異號的.問：若f′(x0)=0，則f(x)在x0處一定取得極值嗎？

生20：不一定！如函數f(x)=x3，其導函數為f′(x)=3x2，在x=0處導數值為0，但其左右兩側導數值均為正，顯然f(0)不是函數y=x3的極值.

師：那么“f′(x0)=0”是“f(x0)是函數f(x)的極值”的什么條件？

生21：必要不充分條件.

師：事實上這樣的函數太多啦，形如f(x)=ax3(其中a≠0)，其導函數為f′(x)=3ax2.當a>0時，在x=0左右兩側導數值均為正；當a<0時，在x=0左右兩側導數值均為負，因此f(0)不是函數y=ax3的極值.

2.9 破浪

師：請大家思考例3.

例3已知函數f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1處有極值為10，求實數a，b的值.

生22：因為f′(x)=3x2-2ax-b，由題意可得

代入得

從而

a2-a-(3-a)-9=0,

即

a2+a-12=0，

解得a=3或a=-4.因此當a=3時，b=-3；當a=-4時，b=11.

師：對此結果大家有何看法？

生23：要檢驗.

師：為什么？

生24：由f′(1)=0不一定能得到函數在x=1處有極值.

師：很好，因此要增加檢驗環節.當a=3，b=-3時，f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2，在x=1的左右兩側導數值同正，因此在x=1處無極值，舍去；當a=-4，b=11時，

f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)，

此時在x=1的左右兩側導數值是異號的，符合題意.

綜上可知：a=-4，b=11.

2.10 弄潮

師：通過本課的學習，談談你的收獲.

生(眾)：一方面掌握了求函數的極大值與極小值的方法；另一方面，從“回首→撤步→前行→慢步→遇水→輕舟→擊水→逐浪→破浪→弄潮”這些環節感受到了一個故事：當一個人在未知領域中探索、前進時，肯定會遇到一些困難，面對困難，我們要迎難而上，尋求解決困難的方法，樹立信心，最終定能取得成功.

師：總結得很好！

3 教學體會

新學期開學后筆者任教高二文科班的數學，學生對數學學習普遍缺乏信心和興趣，導致學生成績不夠理想，課堂教學氛圍比較沉悶.為了激發學生的興趣，筆者在課堂教學中實施穿插故事情節，通過兩個多月的實踐，課堂教學面貌發生較大變化，教學體會如下：

3.1 穿插故事情節，能使學生學習興趣更高

為了更好地展現故事情節，可在每張幻燈片的關鍵詞旁邊適當配置一張緊扣主題的圖片，這樣可讓學生更有畫面感，使學生在上課時能感受到故事情節在一幕幕的推進，從而激發了學生的好奇心，使學生對數學學習產生了濃厚的興趣，上課時學生的注意力更集中，目光更有神，坐姿更端正，回答問題的聲音更響亮.每當顯示出下一張幻燈片的時候，總能吸引學生的目光，激發學生對問題的思考.

3.2 穿插故事情節，能使教師教學效果更好

對于數學基礎薄弱的學生，因學習成績不夠理想，從而對自己的能力產生消極的認識，學習興趣不足，學習的情緒和行為變得消極，成績不夠理想,進入一個惡性循環的怪圈.在課堂教學中實施穿插故事情節以后，正是在這個惡性循環的怪圈中打開了一個缺口，讓學生體驗到課堂的樂趣，學習的熱情逐漸提高，開始愿意與教師互動，或與自己周圍的學生交流，學生的課堂參與度顯著提升，形成良好的課堂氛圍[2].由于故事情節與教學內容的交織，使教學內容結構清楚,層次分明.關鍵詞對每一部分知識具有點題的作用，使學生更容易理解每一部分知識，且便于記憶.通過長期練習，學生已經知道關鍵詞可以連成一個故事，只要記住故事情節就可以記住課堂所學內容，因此當學生回顧課堂所學內容時，學生已能像講個故事一樣，將本課堂的知識娓娓道來，課堂教學效果得到顯著提高.

3.3 穿插故事情節，能使數學課堂意境更深

為了讓學生更能投入課堂，故事情節的設置應有所選擇[3].人的內心都對真理充滿渴望，對真理的尋找是不會停止的.若能讓學生在數學課堂接受新知的同時，從所穿插的故事中領悟一番人生道理，數學教學的育人功能就能得到充分體現.本課設計的故事包含學生探索、求知的心路歷程，為了讓學生體驗到數學課堂的意境美，可以考慮在每張幻燈片的標題欄寫一個具有詩意的關鍵詞，或者寫一句詩詞，用來給數學課堂增添詩情畫意，意義深遠.關鍵詞“輕舟”出自李白的《早發白帝城》，“擊水”出自毛澤東的《沁園春·長沙》，“破浪”出自李白的《行路難·其一》等.數學源于自然，有自然的美，本身也是詩，因此在數學教學中可以通過“詩化”，讓學生的數學學習充滿詩情畫意.