一道湖北省預賽試題的多視角解答*

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(合肥市第一中學,安徽 合肥 230601)

圖1

(2018年全國高中數學聯賽湖北省預賽試題第5題)

分析本題以解三角形為載體，利用重心性質和位置關系，最終確定三角形另外兩邊之和的最大值.題目短小精煉，條件也不是很多，但是在解題的過程中還是會遇到一些阻礙.筆者特將自己答題的4個視角7種解法記錄下來，以饗讀者.

視角1坐標.

由均值不等式,得

評注將幾何問題代數化是常見的方法，此視角下將點的坐標用參數表示出來，最后利用均值不等式解之.

視角2幾何.

即

于是

解法3在解法2中，若不用中線定理，則在△ABO中，由余弦定理得

同理，在△ACO中，由余弦定理得

兩式相加得

x2+y2=10,

因此

解法4設∠AGB=α,∠AGC=β，由S△GBC=S△GBA=S△GAC，得

從而

于是

(1)

同理，在△AGC中,

(2)

式(1)+式(2)，得

x2+y2=10，

下同解法3.

評注幾何問題幾何解，注意到底邊及底邊上的中線長已知，求兩腰長的和的最大值，自然想到中線長公式，如果不知道公式也沒關系，利用余弦定理可證之.

視角3向量.

即

于是

又

2xycos∠BAC=x2+y2-BC2=x2+y2-2,

故

x2+y2=10,

下同解法3.

(7)

(8)

式(7)+式(8),得

下同解法5.

評注向量是聯系幾何與代數的紐帶，三角形中也經常有一些經典的向量結論，一些常見的結論很多是用向量證出來的，此題用向量求解過程簡潔、自然.

視角4猜想.

評注猜想，因為沒有給出嚴格的證明，從某種意義上來說不能算一種解題方法，最多是一種“投機”的思路，但不可否認的是在解決一些選擇題和填空題時，猜想能帶來意想不到的效果.

波利亞說：“掌握數學就意味著善于解題.”本題解題思路明確，學生很容易從這4個視角找到突破口，這就需要我們在日常教學中讓學生徹底理清楚常見的解題思路，即“什么時候用，什么條件下用，怎么用”[1].本題的諸多解題視角啟示我們:教師要改變傳統教育觀念，重視教學本質的挖掘，重視對學生數學素養的培養，針對數學解題教學，更應該圍繞數學基礎知識的合理組織與運用、基本方法的不斷深化展開，而不能僅僅是題目類型、解題技巧的歸納和訓練.