多種視角 精彩紛呈*
——2018年江蘇省高三六市聯考填空壓軸題的多解

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(侯集高級中學,江蘇 徐州 221121)

2018年3月江蘇省徐州、淮安、宿遷、南通、揚州、泰州六市高三學生進行了聯考.筆者所在學校(江蘇省首批四星級高中)高三共有學生905人，其中第14題(填空壓軸題)僅有4人做對.經調查，90%的學生看完題目略作嘗試就放棄了，可見此題難度較大.該題主要考查函數的最值問題，在知識的交會處命題，構思新穎、設計簡潔.筆者給出5種解法，以饗讀者.

1 試題回放

2 不同視角下的解法

恒成立，且能取得等號，于是

225x4-72(a+1)x2+16(a-1)2≥0

恒成立，且能取得等號，其判別式

Δ=722(a+1)2-4×225×16(a-1)2=0，

即

3(a+1)=±5(a-1)，

說明將函數的最值問題轉化為恒成立問題，通過一步步變形，轉化為二次函數恒成立問題，利用判別式進行處理，思維量不大，計算量不小，算出來需要勇氣.

解法2(柯西不等式法)

從而

解法3(導數法)

依題意得

說明通過導數研究最值是最保底的方法，在沒有使用導數之前都不能說已經盡力了.事實上這道題算到最后發現求導其實并不難算，學生最缺乏的是勇氣！

圖1

另一方面,

解法5(軌跡視角)由于f(x)為奇函數，現僅考慮當x>0，a>1時的情形：

再令

則

m2+1=an2+a，

即

圖2

此時Δ=0，即

化簡得

4a2-17a+4=0，

說明將本題的分式函數中的變量相對集中到分母上，再通過換元轉化為直線與圓錐曲線的位置關系，利用規劃知識求解，不失為一種常規手段，體現了通性通法.

3 解后反思

此題立足函數和不等式的基本概念和性質，涵蓋知識面廣，難度較大.筆者從不同視角思考，產生了判別式法、不等式法、導數法、幾何法、解析法等方法，涉及了函數與方程、數形結合、轉化與化歸及分類討論等數學思想.

多視角解題可以對某一問題從不同方位、不同側面、不同層次進行全面的探討，拓寬學生的視野，培養學生的發散思維.但一題多解不是終點，教師還應該引導學生對多種方法進行對比分析、適當篩選，從中擇優，達到弄通一題而旁通一批，讓學生有“會當凌絕頂，一覽眾山小”的探索勇氣，達到舉一反三、事半功倍的教學效果.