2018年全國數學高考卷Ⅰ文科第21題探究*

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(宿城第一中學,安徽 宿州 234000)

1 試題展現

例1已知函數f(x)=aex-lnx-1．

1)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

(2018年全國數學高考卷Ⅰ文科試題第21題)

點評本題是2018年全國數學高考卷Ⅰ文科試題的壓軸題.試題的命制嚴格遵循《普通高中數學課程標準(2017年版)》《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱》《2018年普通高等學校招生全國統一考試說明》(以下分別簡稱《課程標準》《考試大綱》《考試說明》)的要求，體現了素養導向，展現了數學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和應用性．第1)小題考查導數極值的判斷、單調區間的求法，注重基礎，學生容易得分；第2)小題注重對學生能力的考查，以不等式證明為載體，考查學生靈活運用導數知識分析問題、解決問題的能力,有一定的廣度和深度，入口較寬，解法多樣，有利于對學生進行多層次、多角度的考查，作為壓軸題起到了把關作用．

2 解法探究

下面對第2)小題進行探討.

2.1 分離參數,轉化化歸

從而φ(x)在(0,+∞)上單調遞減，又φ(1)=0，于是當x∈(0,1)時,φ(x)>0，故h′(x)>0，h(x)單調遞增；當x∈(1,+∞)時,φ(x)<0，故h′(x)<0，h(x)單調遞減，因此

故

2.2 帶參求導,設而不求

證法2由f(x)=aex-lnx-1，知

從而f′(x)在(0,+∞)上單調遞增.因為

f′(1)=ae-1≥0，

又

f(x)min=f(x0)=aex0-lnx0-1.

lna+x0=-lnx0，

2.3 參數放縮,巧解問題

h(x)min=h(1)=0，

故

h(x)≥0．

2.4 變量放縮,分類討論

證法4記φ(x)=x-1-lnx(其中x>0)，則

從而當x∈(0,1)時，φ′(x)<0，φ(x)單調遞減；當x∈(1,+∞)時，φ′(x)>0，φ(x)單調遞增，于是

φ(x)min=φ(1)=0，

因此

φ(x)≥0，

故當x>0時，x-1≥lnx,即欲證aex-lnx-1≥0，只需證aex-x≥0.記h(x)=aex-x，則

h′(x)=aex-1，

令h′(x)=aex-1=0，即

②當a>1時，h′(x)>0，從而

h(x)>h(0)=a>0,

得證．

點評證法4是對變量進行放縮，根據“當x>0時，x-1≥lnx”把要證明的不等式轉化為證明其成立的充分條件“aex-x≥0”，然后對a進行分類討論，進而原不等式得證．證法4雖很繁冗，但是把解題思路打開了，給后面的方法提供了更多思考的空間，要證明不等式，根據分析法可以證明使它成立的充分條件成立．

2.5 參變同縮,“秒殺”問題

證法5記h(x)=ex-1-x(其中x>0),則

h′(x)=ex-1-1，

從而h(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，進而

h(x)≥h(1)=0，

于是當x>0時，ex-1≥x，兩邊取自然對數可得

x-1≥lnx．

因此aex-lnx-1≥ ex-1-lnx-1≥

x-(x-1)-1=0，

3 追本溯源,揭示本質

3.1 幾何視角

3.2 代數視角

泰勒公式：f(x)=ex在x=0處的泰勒展開式為

即

因此

ex≥x+1[1].

用x-1代換不等式ex≥x+1中的x，可得ex-1≥x.當x>0時，對ex-1≥x兩邊取自然對數可得

x-1≥lnx，

從而

ex-1≥1+lnx，

即

從代數的角度來理解試題命制的本源，結合幾何的感性直觀，有利于建立形與數的聯系，提高直觀想象能力，培養學生的數學核心素養,有利于從廣度和深度兩個層次對問題進行理解和剖析．

3.3 同源探究

例1與2013年全國數學高考卷Ⅱ理科試題第21題(例2)同根同源.

例2[1]已知函數f(x)=ex-ln(x+m)．

1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調區間；

2)當m≤2時，證明:f(x)>0．

首先從試題形式來看,兩者相似度極高;再從解題方法看，在例2第2)小題中證明f(x)>0，可以使用:

①參數放縮，只需證

ex-ln(x+2)>0，

借助設而不求，不等式得證，參見例1第2)小題的證法3；

②參變同時放縮，只需證

ex≥x+1≥ln(x+2)，

從代數、幾何視角均可證明，又因兩個等號不同時成立，不等式得證，參見例1第2)小題的證法5．

4 解后反思

4.1 重視教材,抓“四基”

《課程標準》要求通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基”(數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)．《課程標準》是教材編制的依據，教材是課程標準的具體體現．抓“四基”，就要重視教材．例1植根于教材，在《數學(必修1)》對數函數的圖像與性質中，明確要求學生了解同底的指數函數和對數函數互為反函數，圖像關于y=x對稱，在2018年的《考試大綱》中也有要求．學生扎實的“四基”是分析問題的根基,是解決問題的保障，因此高三復習要重視教材．重視教材不是把學過的教材拿過來重新學一遍，而是要對教材進行挖掘，科學整合教材中的例題、習題，發揮教材的最大效益．

4.2 高于教材,抓“四能”

高三復習中“四基”固然重要，但也不能僅局限于教材，故步自封，忽視學生的認知和發展規律．通過高中課程的學習還要構建(提高)學生的“四能”(從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)．“四基”是知識的內化于心，“四能”是知識的外化于行．“四能”的培養需要根據最近發展區理論，創設高于教材的教學內容．新高考強調以數學知識為載體，從問題入手，考查學生的個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能．例1考查由指數函數y=ex與對數函數y=lnx平移之后的指數、對數型函數，這樣的函數源于教材，但又高于教材要求．因此要提高“四能”，就要在高三復習時，適切講授高于教材的知識，比如常見的泰勒展開式、洛必達法則、拉格朗日中值定理等，既能拓寬學生的知識面，又可以開闊學生的解題視野．

4.3 關注素養,抓“創新”

2018年的高考命題強調以素養為導向，考查學生創造性的探究能力．《考試大綱》要求：對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查，在考試中創設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數學問題時，要注重問題的多樣化，體現思維的發散性；精心設計考查數學主體內容、體現數學素質的試題；也要有反映數、形運動變化的試題以及研究型、探索型、開放型等類型的試題．例1考查學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，是對學生創新意識和能力考查的最好體現．蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者．”因此在高三復習中，教師更應關注學生數學核心素養的提升，狠抓創新教育，讓學生能以一個發現者、研究者、探索者的身份引領新時代創新的發展．