基于目標意識 回歸本原問題*

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(南京師范大學附屬揚子中學,江蘇 南京 210048)

高三解題教學的首要任務是教會學生如何解題，進而提升學生的數學素養.實踐表明，要使學生真正學會解題，需從數學本質出發，深究解題策略.常規的解題是按照由條件出發到思考目標問題進而解決問題.但由于學生認知的局限性，抓不住問題的本質，往往不能直接根據已知條件，將要求的問題化歸為已解決的本原問題，進而形成問題的解決策略.另外，由于課堂教學時間緊、任務重，教師僅僅關注內容或方法有沒有講清楚或透徹，很少深挖問題的源與流,學生往往不能從問題的本原考慮，形成解題的基本思路，從而造成只要問題條件稍作變化，就不會解的困境.本原思想是相對學生而言的最樸素、最本質的想法[1].

從問題的本原考慮就是以認清問題的本原為基礎，探尋解決問題的基本方法與規律，達到善于解題的目標.筆者借助一道高考模擬試題的評講過程，讓學生基于目標解題意識，回歸到本原問題考慮，奠定融會貫通的基礎，形成良好的解題思維習慣，實現高效解題.

1 學習過程

(2016年5月江蘇省南京、鹽城數學高考模擬試題第14題)

對于該題筆者所在學校學生做得很不理想，全校共560人參與此題，僅有42人做對.后期筆者在對答對的學生訪談時，發現他們雖然做對了，但過程千奇百怪，而且復雜，帶有很多偶然的因素，大多數學生根本沒有把握問題的本原.

環節1基于目標， 探尋本原.

師：例1是什么問題？以前有沒有遇到過類似的問題？

生1：與2011年浙江省數學高考理科試題第16題(即例2)類似.

例2若實數x，y滿足4x2+xy+y2=1，則2x+y的最大值為______．

師：分析很到位，以“形異神似”的高考題作為本原，非常符合模擬試題的特點，那么解決例2有哪些方法？

生1：由已知條件知道x，y的關系，于是，聯想利用基本不等式來解決它.

4x2+xy+y2= (2x+y)2-3xy≥

即

得

師：非常好！還有其他方法嗎？

則

師：太棒了!生2思路清晰、自然，別的同學還有不同想法嗎？

生3：對所求式子平方得(2x+y)2=4x2+4xy+y2，因此我聯想到了三角函數求值中的齊次式處理方法，即

生4：整體思想是解決多元問題的常用策略.令2x+y=t，則y=t-2x,將其代入方程4x2+xy+y2=1,得

6x2-3tx+t2-1=0，

可將其看成是關于x的一元二次方程且該方程有解，從而

Δ=-15t2+24≥0，

于是

生5：例2的本質是動點P(x,y)在曲線4x2+xy+y2=1上移動.令2x+y=t，則直線y=t-2x與曲線4x2+xy+y2=1有交點，得

Δ=-15t2+24≥0，

從而

師：讓我給大家對比、分析一下.生1是利用不等式法處理的，需要適當變形，更要注意使用基本不等式中等號取得的條件；生2從已知條件結構入手，使用消元法，借助三角換元法，將問題轉化為三角函數求最值，思路較為順暢；生3受到三角函數中齊次式求值的啟發，也將問題轉化為三角函數求最值，值得學習；生4使用方程法，整體思想應用很恰當，生2、生3和生4的策略都達到了消元的目的；生5采用的是線性規劃策略，其本質可看作直線(或曲線)與曲線有交點的問題.

設計意圖通過熟悉的高考題作為本原，驅動課堂教學的進行，將本原問題融入到揭示、探究數學本質的活動過程中，實現一題多解，多解歸一，形成解決一類本原問題的基本方法.

環節2基于目標，回歸本原.

師：同學們，根據例2的研究，我們歸納出多種解決策略，現在能否利用這些方法來解決例1？

生6：目標問題比較繁瑣，分子是一次式而分母卻是二次式，不知道該怎么做，如果分子、分母次數都是一次或二次，就可以用齊次式處理了.

5x2-2xy+2y2=(x-2y)2+2,

從而

師：太棒了！其他同學聽明白了嗎？

(學生們紛紛點頭.)

師：請用生7提供的思路解出答案.

師：當思路不“通暢”時，自然需要調整，向已經解決的本原問題靠攏，正可謂“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”.

生8：我試圖將目標問題轉化為關于x(或y)的一元函數，但沒能成功.于是，調整了思路，選用生2的方法，也沒成功，但得到了

(2x-y)(x+y)=1.

令2x-y=m，x+y=n，則mn=1,且

師：太棒了!從本原高考題出發，提煉方法，運用于新題之中，實現了“解一題，通一類”，這才是真正的數學解題學習.基于目標意識，回歸到問題的本原，從而奠定融會貫通的基礎，形成良好的解題思維習慣，實現高效解題.

設計意圖模考題(文首例1)經過包裝，將其本原隱藏起來，進而達到考查學生轉化問題和解決問題的能力；從問題的結論深入，發現其中與本原問題的聯系，在“形異神似”中實現方法的正向遷移，達到“解一題，通一類，帶一串，提一片”的目的.

環節3鏈接高考，強化本原.

師：江蘇省數學高考題中也有此類問題的影子，比如下面兩道題，同學們課后可以嘗試著用本節課學到的方法解決它.

(2012年江蘇省數學高考試題第14題)

例4在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

(2016年江蘇省數學高考試題第14題)

設計意圖鏈接高考題，提升學習興趣，發展學生的思維，實現對知識方法的深層次理解和靈活應用等目的.

2 幾點思考

2.1 注重目標意識

數學解題正是在問題的初始狀態和目標狀態之間進行比較、分析、消除差異，最終找到達到目的的最佳路徑的過程.基于目標意識解題，就是首先根據目標任務弄清“要什么”，清楚問題的特點，然后理清“有什么”，選擇方法，縮小“有什么”和“要什么”之間的距離，進而嘗試怎樣縮小．“目標意識”和“正難則反”的解題思想也是中學生應該具備的基本數學素養.解題教學中，教師應多關注、培養學生基于目標的解題意識，當學生遇到復雜問題、由條件到結論的常規解題思路受阻時，就會主動嘗試從結論出發，尋求解決問題的突破口，這樣有助于培養學生思維的敏捷性和發散性.

2.2 注重問題本原

項武義教授曾說：“必須要對基礎數學的本質和基本思想下一番深切的方璞歸真.”這正是要讓學生養成將復雜問題退到最簡單、最原始問題的思維習慣最好的詮釋.“本原思想”是指將一個數學問題的要素和基本結構作為思考的始點，是相對學生而言的最樸素、最本質的想法.回歸本原問題，驅動解題教學，能夠充分發揮教師的主導作用.解題教學應引導學生探尋問題的本原，讓學生“跳一跳”就能夠到；應抓住問題的本原，弄清問題的源與流，有意地將問題回歸為已解決的“本原問題”，自然生成解題思路.

2.3 注重通性通法

章建躍博士認為：“注重通性通法才是好數學教學.”解題需要基于目標，回歸本原問題發現一類問題的方法結構，然后進行辨識，找共性，獲得一般結論、想法，形成一類問題的通性通法；讓學生掌握“一招一式”的通性通法，明確方法的普遍性，具有回歸問題本原、聯想通性通法的意識，具有一雙透過現象看本質的慧眼，才是解題教學追求的長遠利益[2].

2.4 注重聯想能力

數學家波利亞說：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本．”數學解題，更多的是在新情況和條件下去尋求未知的東西[3].數學解題思路尋求應該基于已有的認知結構進行思維方法聯想.作為教師，要根據學生的實際狀況選擇恰當的題，選擇恰當的講題方法，最大限度地培養學生解題的能力.筆者認為，至少在還沒有找到更好的方法之前，“基于目標，將新問題表征為自己頭腦中所熟悉的‘本原問題’，進而聯想問題解決的方法”是一個可行的好方法.

總之，解題的首要目的是鞏固概念，最終目的是學會思考，過程中要培養良好的解題習慣，發展分析和解決問題的能力.基于目標，依據結論的形式，回歸本原問題的解題思維，才能使學生真正學會思考.