研題，數學教師專業發展的有效途徑*

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(湖州中學,浙江 湖州 313000)

教學質量是學校教育的生命線.好的教學質量需要優質的生源，同時離不開優秀的教師，教師專業的發展不僅關系到教師個人的成長，也關系到學校未來的發展.現階段，全國各地的相關部門或機構針對教師的培養采取了各種各樣的有效措施.就高中數學教師而言，筆者認為“研題”是專業發展的一件行之有效的法寶.

1 研題的定義

研題，就字面而言，即“研究題目”，它是在正確解題的基礎上，對題目進行反思，挖掘出題目的內涵與潛在的價值，因此研題包含“解題”和“反思”兩個環節.

解題，目錄學中常用的一個術語，中文釋義：求解問題[1].本文中的“解題”特指“做題”，即對所提問題作出解答.解題在數學學習過程中的重要性不言而喻，中國著名數學家華羅庚先生曾說過：“學數學不做題目，等于入寶山而空返.”學習數學離不開“解題”.

反思，意為自我反省，即思考過去的事情，從中總結經驗或教訓，字數可以不多，但一定要深刻.中國古代教育家孔子說：“學而不思則罔.”在“解題”后，若缺少了“反思”，就接觸不到題目的真諦.

2 內容與方法

研題的內容沒有固定的范圍，它可以是單一的數學題目，如：某個高考真題，或某次聯考的一個考題，或是日常課堂教學中的一個例題等；它也可以是一類數學問題串，如：與某個知識點相關的題型歸類，或幾個相似問題的統一解法總結，或不同條件下問題的不同處理方法等.

當然，研題的方法也沒有既定格式，可以是研究一個點，以題目結構為角度，研究題目的已知條件、文字組織、設問方式等；也可以是研究一個面，從題目的題意、解法、背景、變化、價值等方面進行全面深入的研究.

筆者以一個試題的研究為例，對研題的內容與方法進行如下說明：

1)an

(2017年9月浙江省麗水、衢州、湖州三地市教學質量檢測試題第22題)

2.1 解題環節

解題是數學學習的一種重要方式，解題環節可分成兩個部分：研究題意和研究解法.流暢的解題環節需要研題者準確理解題意，并以合理的方法得到正確的答案，而解題能力更是評價一名數學教師業務能力的一個重要指標.

2.1.1 研究題意

題意的理解一定要精準地抓住問題本質，閱讀題目時必須找出解題的關鍵要素.

3)本題考查內容涉及數列的函數本質、數列不等式的放縮、數學歸納法、等比數列求和等知識，難點在于拆項和放縮的技巧，對學生分析問題和解決問題的能力有較高的要求.

準確理解題意是獲得正確解答和多樣解法的前提，離開了題意的理解，題目的解法就會顯得生硬且難以接受.

2.1.2 研究解法

根據題意，可作如下分析：

思路1直接構造函數f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1).

思路2兩邊取以自然對數底數e為底的對數，構造函數f(x)=lnx-x+1，其中x∈(0,1).

說明兩種思路實質均考慮到了“切線放縮”，即y=ex在點(0,1)處的切線為y=x+1，從而當x∈(0,1)時，ex>x+1；y=lnx在點(1,0)處的切線為y=x-1，從而當x∈(0,1)時，lnx

(1)

思路1這是“n項之和”與“一項”的大小比較，可以將ln(n+1)對應地拆成n項，如：

ln(n+1)= [ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+

…+[ln 2-ln 1]，

思路2式(1)是關于正整數n的不等式，因此可考慮用數學歸納法處理.

說明思路2與思路1考慮問題的角度不同，但要解決的核心問題一樣，均離不開不等式ln(x+1)

3)思路1由第1)小題知

(ea1-1)t+(ea2-1)t+…+(ean-1)t=

故

方法的多樣性不能停留在簡單的變形，而應體現研題者對題意理解的到位和思維的活躍，不同的方法之間應有較為明顯的不同思考角度，如：將第1)小題思路1中“構造函數f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1)”改為“構造函數f(x)=ex-ex，其中x∈(0,1)”，像這樣的改變，因為其僅僅停留在不等式的簡單變形，所以不屬于我們所定義的不同方法.

2.2 反思環節

反思是數學學習過程中對已學知識的一種復習方式，也是一種自我提升的有效途徑.研題中的反思環節是研題者對題目進行全面認識的過程，它需要教師具有深厚的知識儲備和專業修為，這是研題的關鍵一環，直接決定研題的精彩與黯淡、成功與失敗.

2.2.1 反思背景

2)思路3如圖1，S小矩形之和>S陰影，即

ln(n+1),

圖1 圖2

3)思路2如圖2，S小矩形之和

說明從思路2可以看出題目條件t≥3是多余的(思路1中此條件卻必不可少).

背景的挖掘，便于研題者了解出題人設計思路的起點與命題的初衷，從而找出最優解法.

2.2.2 反思變化

了解了出題人的設計起點與命題初衷后，就可以在原題的基礎上對題設條件或設問方式進行適當的變形，進一步挖掘題目的內涵與價值.

變化1精簡條件，美化題目.

從第3)小題思路2的解答過程看，不難發現條件t≥3是多余的，因此可以將該條件去掉，重新解答此題，得到：

②當t=2時，

不等式成立.

③當t≥3時，同思路1.

變化2拓展思考，完備結論.

例1第2)小題僅展現了不等式的一邊，適當挖掘可得到不等式的另一邊.

圖3

思路2數學歸納法.

思路3構造定積分，如圖3,S小矩形之和

1+lnn,

當且僅當n=1時，等號成立，從而

變化3適當放縮，加強命題.

由條件知an∈(0,1)且n≤t，從而

分析由第3)小題的證明過程可知

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*，

說明1)變式2為例1第3)小題的一個加強命題，證明過程因借助了第3)小題而使其看似簡單，實際難度更大.

2.2.3 反思價值

題目價值的反思是研題者對之前研究成果的宏觀總結，也是研題者在課堂講題前的一種微觀思考,即為什么要講解此題.

從題目的結構看，該題題意清晰，題型完整.數列和的不等式問題主要包括“控制”和“有界”兩種類型，第2)小題為控制型，第3)小題為有界型.

從解題方法看，該題融入了現階段較為熱門的切線放縮、裂項等處理方法，整個過程涵蓋轉化與化歸、函數、數形結合等多種數學思想，拓展開來有利于培養學生的發散性思維.

從教學角度看，該題作為上課的例題進行教學，有利于學生弄清楚數列和不等式中“控制”和“有界”兩個最常見的概念，命題的變形與加強有利于開拓學生的視野，體現了很好地教學功能.

從考查角度看，該題解法眾多，蘊含思想豐富，充分體現了對學生邏輯推理、數學分析、數學建模、直觀想象等數學核心素養的考查.

一切的反思都是為了在課堂中的精彩呈現，反思至關重要，它是研題者挖掘題目內涵、提煉題目價值的必要環節，也是研題者思考題目本源、找出最優解法、在課堂中講解好題目的前提條件和核心步驟.

3 研題的意義

研題一定要有收獲，沒有收獲的研題是無用的.在上述研題例子中，我們不僅得到了多解、變形和命題的加強等淺層次的收獲，更重要的是教師得到了專業發展這一深層次的成果.

3.1 能編好題

根據上述的研題例子，筆者創編了如下的一道題目：

(2)

即

從而

……

于是

當且僅當n=1時,等號成立，故式(2)成立，進而

2)(見下文“3.2能上好課”部分.)

設計說明對照原題，本題改編之處主要體現在3個方面：

1)將原題中t≥3這一條件舍去，簡化了條件;

雖然每一次的改動看似變化都不大，但實際上對整個解題的思想方法產生了深刻的影響，其中涵蓋了放縮、二項式定理、數學歸納法等重要的數學研究手段和知識(這也是證明第2)小題的難點)，很好地考查了學生思維的發散性.

3.2 能上好課

借助研題，對題目有了深刻的了解，研題者就能夠順利地將講題過程自然融入課堂.

以下是筆者經過“研題”后，實踐的一堂試卷講評課的片段：

師：從前面的解答過程可以看出，第3)小題的解答十分依賴于第2)小題的結論.而事實上，因為an∈(0,1)且n≤t，所以

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

(3)

對這個式子的證明，同學們有什么看法？

生2：這是正整數問題，可考慮用數學歸納法.

師：很好，那我們請生2上臺來板演一下解題過程.

生2上臺板書如下：

當n=1時，左邊=11<(1+1)1=右邊，式(3)成立；

假設當n=k，其中k∈N*時，式(3)成立，即

1k+2k+3k+…+kk<(k+1)k，

則當n=k+1時，

左邊= 1k+1+2k+1+3k+1+…+kk+1+(k+1)k+1≤

k(1k+2k+3k+…+kk)+(k+1)k+1<

k(k+1)k+(k+1)k+1=

(2k+1)(k+1)k,

……

(下面生2寫不下去了，問題出在不會比較(2k+1)(k+1)k與(k+2)k+1的大小.)

師：根據數學歸納法的結構，生2遇到的主要困難是證明：當k∈N*時，(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1.有沒有同學能幫上忙？

(一下子，全班安靜下來，陷入沉思……)

生3：老師，好像可以用二項式定理證明.

師(露出笑容)：那請你上黑板前來書寫一下.

生3板書如下：

當k∈N*時，

(k+2)k+1= [(k+1)+1]k+1>

2(k+1)k+1=(2k+2)(k+1)k>

(2k+1)(k+1)k.

(臺下頓時響起了掌聲，并不時發出贊嘆聲：妙！)

筆者向生3豎了下大拇指，并將生2的答題過程進行了如下補充：

(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1=右邊，

故式(3)成立.

綜合1)，2)可得：對n∈N*，式(3)成立，即

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

數列不等式問題常作為數學試卷的壓軸題，有一定難度.在上述教學片斷中，筆者用放縮的手段(數據分析)引導學生重新建立新的不等關系(數學建模)，在給學生牽線搭橋(邏輯推理)的過程中，讓學生來發現證明式(3)的方法，不僅得到了例1第3)小題的思路2，而且加強了原命題，更重要的是在課堂中有效推動了學生的六大數學核心素養的發展.

3.3 獲得成長

研題的過程，就內容來看，從解題環節到反思環節，題目的內涵與外延都得到了深入的挖掘與拓展，實現了將題目的解答從一般的解題技能上升到一定的理論高度.就研題者而言，無疑是自身數學教育的理論功底、數學知識的掌握程度、數學方法的理解能力及數學教學的理念的一次展現[2]，研題者在對題目題意、解法、背景、變化、價值等的研究過程中，實現了對題目的了解從感性認識到理性認識的升華，其解題水平、編題水平、講題水平都取得了一定程度的提高，有效促進了自身專業素養的發展，使自己更好地服務于課堂教學.

4 結束語

“解題”作為數學學習的一種方式，它就題論題、浮于表面，動作相對機械，不能代替“研題”去揭示題目的本真.而“研題”是一種有感而發、深度探究的行為，不能一蹴而就，需要深思熟慮，需要潛心研究.

《普通高中數學課程標準(2017年版)》首次提出了數學區別于其他學科的六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[3].一線教師在日常的教學工作中，務必在課前對例題進行適當的研究，挖掘出題目的內涵與外延，從而在課堂中實現例題教學價值的最大化，最終有效提高學生數學核心素養的水平！