數學中的數形結合

方同文

摘 要 數與形是數學中的兩個研究對象，在一定條件下能互化。數形結合，就是把數學中“語言文字表現的數量信息與呈現方式”和“幾何圖形與圖像、實物等形象材料呈現數學信息”有機結合解決數學問題。數形結合是數學解題中常用的方法，使某些抽象的數學問題更直觀化、生動化、形象化，有助于把握數學問題的本質，使很多問題便迎刃而解且解法簡捷；同時，也激發學生對數學的學習興趣。

關鍵詞 數學概念；數形結合；學習興趣

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）02-0086-01

一、數學概念

在數學概念中的數形結合，就是借助于直觀形象模型去理解抽象的數學語言或數量關系，即用有形的數學教具、數學模型和數學概念、定義、規律等數學知識有機結合，幫助學生感知、生成、深化概念。

1.圖形演示，理解概念

圖形演示是理解概念的最常用的方法，借助豐富的感性材料聯系具體形象的模型演示出數學概念最抽象的最本質的屬性，從而豐富了學生的感性認知，更為理解數學概念。

如“求一個數的幾倍是多少”，學生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的數學概念深入淺出地教授給學生，使他們能對“倍”有個深刻的印象，用圖形演示的方法是最簡單又最有效的方法?？梢岳枚嗝襟w技術在第一行排出3根一組的紅色小木棒，再在第二行排出3根一組的藍色的小木棒，第二行一共排4組藍色小木棒。

結合演示，讓學生觀察比較兩行小木棒的數量特征，再啟發學生小組合作討論和交流，使學生清晰地認識到：紅色小木棒是1個3根，藍色小木棒是4個3根；把一個3根當作一份，則紅色小木棒是1份，而藍色小木棒就有4份。用數學語言：把紅色小木棒當作1倍，藍色小木棒的根數就是紅色小木棒的4倍。這樣，從演示中讓學生看到從“個數”到“份數”，再引出倍數，很快就觸及了概念的本質。

2.借形設問，形成過程

在概念教學中要借助學生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體或圖形，設置一些步步深入的誘導性問題，從感知到認識的思維過程，再引導學生通過觀察、比較、分析、概括逐步形成新的概念。有助于加強學生理解與運用概念，同時激發學生的數學思維。如，教學“體積”概念。教師可以借助形象物體設問，引導學生分析比較。首先觀察物體，初步感知。

讓學生觀察教室門和黑板并說出誰大誰小，再出示兩個邊長分別為2厘米和5厘米的正方形紙板用同樣的方法，這樣建立了學生對物體大小的初步感性認識。接著出示兩個同樣的玻璃杯都裝有半杯水A、B：在B杯中慢慢加入小石子，學生可以觀察到，隨著小石子投入的增多，杯中的水位不斷上升。問：B杯的水位為什么會上升？再引導“為什么B杯的水位會隨著放入的小石子增多而升高”這一問題進行深入討論，通過討論交流學生自然地領悟“物體所占空間的大小叫體積”這一概念。為了進一步使概念在應用中得到鞏固，繼續B杯中放石子，學生觀察到水溢了出來，啟發學生從觀察到的現象中發現了什么問題？學生思考后提出：杯里溢出的水的多少與放進去的石子有什么關系？經過討論得出：從杯里溢出水的體積等于石子的體積。至此，學生不僅認識了概念，而且能夠應用概念。

二、數量信息

數量信息是數學問題中常見的呈現方式，用數形結合把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，挖掘數學問題的本質。使問題化難為易，化繁為簡。既可以引進新知、建構概念，還可激發學生的學習興趣，有利于發展學生的想象力和提高思維力。

1.“以形助數”借助圖形的直觀性來闡明數間關系

借助圖形的直觀性將抽象的數學概念、運算等形象化、簡單化，挖掘數學的本質。根據題意畫直觀圖分析和找出數量關系，以清晰的理論指導學生理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法，正所謂“知其然、知其所以然?！?/p>

如：A、B兩車從甲、乙兩地相對開出在某個地方相遇。A車行了5小時，每小時54千米；B車行了7小時，每小時48千米。甲、乙兩地相距多少千米？

畫圖觀察分析，明確數量關系：

路程A=速度A×時間A；路程B=速度B×時間B；總路程=路程A+路程B

54×5+48×7

=270+336

=606（千米）

或：54×5=270（千米） 48×7=336（千米）

270+336=606（千米）

答：甲、乙兩地相距606千米。

2.“以數解形”借助數的精確性來闡明形的某些屬性

通過數的運算和變式，求出相應的結果，增強了學生的學習興趣，擴展了學生的思維，讓學生明白學習數學的價值。如求一元一次方程ax+b=0的解的時候可以進行拓展方法。通常是采用轉化數學思想，利用等式基本性質求解。我覺得也可以用數形結合的方法，把求方程的解轉化為找函數y=ax+b與x軸相交時（即y=0）的交點坐標的橫坐標。以“求2x+4=0的解”來說明。

解：用數形結合的方法，把方程轉化成函數y=2x+4再作函數圖像。通過學生共同參與列表、描點、連線，由函數圖像得知y=2x+4與x軸的交點（-2，0），所以方程2x+4=0的解x=-2。

總之，數形結合是理論與實際的聯系，是思維的起點，是學生構建數學模式的基本方法。數學家華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非?！币虼?，要巧妙地運用數形結合。

參考文獻：

[1]數學概念的學與教.人民教育出版社.