導數在高中數學中的應用探討

張振

摘 要：導數是數學發展史中一項重要的發明，在幾何之后一個具有跨時代意義的偉大研究，也被稱為數學史中的里程碑。本文主要分析高中數學中導數的應用，闡述根據導數知識對高中數學問題研究的方法。

關鍵詞：導數 高中數學 應用

高中數學的應用及其廣泛，導數也從以往輔助地位提升到分析和解決問題中不可缺少的功能。導數是高中數學中的重點內容，也是對函數性質的總結與擴展，并且導數運用可以解決生活中常見的很多問題。導數在高考當中逐漸成為熱點，根據導數解決實際問題，主要可以培養學生建模、總結、反思等能力。以下針對導數在高中數學中的應用進行探討[1]。

一、導數的含義

1.導數的基本概念

導數是微積分中的重要基礎概念，也是函數的局部性質，當一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點的變化率，如果函數的自變量和取值都是實數，那么函數在某一點的導數就是該函數所代表曲線在這一點上地切線斜率。導數的本質就是通過基礎概念對函數進行局部線性逼近。但是，不是所有的函數都有導數，一個函數中也不一定所有的點都有導數，假如某一個函數在某一點中有導數存在，可稱其為這一點可導，否則稱為不可導。可導的函數一定是連續的，不連續的函數一定不可導。微積分基本定理表明求原函數與積分是等比的，求導和積分是一對互逆的狀態，都是微積分學當中最基礎的概念。

2.導數與函數的性質

導數與函數的性質可分為單調性和凹凸性，若導數大于零，則單調遞增；若導數小于零，則單調遞減；導數與零相同則為函數駐點，不一定為極值點，需帶入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷是否具有單調性[2]。若已知函數為遞增函數，那么導數大于等于零，如果已知函數為遞減函數，導數則小于等于零。當變化時函數的切線變化，函數的導數值就是切線斜率；可導函數的凹凸性與導數的單調性相關，當函數的導函數在某一個區間上單調遞增，這個函數區間是向下凹，反之為向上凸。當二階導函數存在時，可用正負性進行判斷，在某一區間大于零，這個區間的函數是向下凹，反之區間函數向上凸，曲線的凹凸分界點稱作為曲線的拐點。

二、導數的計算與求導法則

復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數，也可以成為鏈式法則，變限積分的求導法則為：

a（x），b（x）為子函數。在高中數學當中應用導數，不僅可以提高學生的思維開拓，還能促進學生擴展創新的能力，導數的計算就是，計算已知函數的導函數，可以根據導數的定義運用變化值的極限進行計算，在實際學習計算過程中，很多常見的解析函數都可以當做簡單函數的和、差、積或者相互復合的結果，只有對簡單函數的導函數進行整體掌握，才能根據導數求導法則推算復雜函數的導函數[3]。

導數的求導法則是由基本函數的和、差、積或者相互復合構成函數的導函數，通過函數的求導法則來對導數的求導法則進行推導，基本法則主要分為四種方式：一是求導的線性。函數的線性組合求導，相當于對其中各個部分求導后在進行線性組合；二是兩個函數乘積的導函數。一導乘二+一乘二導；三是兩個函數商的導函數是一個分式。子導乘母-子乘母導，除以母平方；四是當有復合函數時，用鏈式法則進行求解。

三、導數在高中數學中的具體應用

1.導數在不等式證明問題中的應用

在高中數學學習過程當中，不等式證明是高中數學中的一個難點，也是綜合性較強的一個知識點，對學生的思維能力要求很高，很多數學問題采用常規方法難以得到證明結果，就需要根據高中數學，新增內容導數進行解決問題[4]。在教學中運用導數概念，對不等式進行問題解析，能夠引導學生更快的完成問題內容，將不等式與函數進行相互結合，利用導數的相關內容，可以快速解決問題。

比如設函數：

2

2

'

當時，'當時，'所以在（0，1）上遞增（1，+∞）上遞減，而g（1）=0，所以時，即。因此，采用導數對不等式進行證明，需要創造新的函數，根據新函數的最值解決不等式證明問題。

2.導數在求解函數極值、最值中的應用

采用函數對極值進行求解，主要包含四種內容，一是根據導數的概念，求解出導數的數值；二是確定函數的定義，分析出函數的值處在什么范圍；三是參照導數公式'，對導數的全部實根進行求解；四是觀察'根的狀況，比如根的兩側符號出現變化，左正右負，則說明的根是極大值，反之左負右正，的根是極小值，可根據這兩種狀態進行判斷。

3.根據導數意義確立函數解析式

在函數當中求解函數解析式，可以對函數的性質進行更好的研究，在函數的應用當中，函數性質的研究對函數解析可以起到更好的作用[5]。比如，已知函數原狀態是32，此函數坐標圖像在軸具有交點，稱A，根據圖像畫圖可以掌握，該函數在A點交點的切線方程是。已知的點在時可以獲取極值，根據已知的條件，列出函數相對應的解析式。

解題：根據題目中已知的條件，可以了解到函數

32當中軸相交的點為A，因此A點的坐標可以得出（0，），曲線A點的切線方程在題目中提到為。A點滿足函數條件，可得，切線斜率為，那么在中的導數可以求出lx=0=15，根據函數原型進行求解，可以得出2lx=0=c，根據這兩個公式可以對函數參數C進行求解為c=15，如題中已知條件，函數在時可以求出0為極值，根據上訴分析，可列出方程組進行求解：

方程組解出的數值為，，

將，，c=15帶入進原函數內

函數解析式可以求出3b2+。

結語

導數在高中數學當中的應用，是高中數學最有力的工具，不僅能夠提高學生解決問題的能力，還能體現數學中的中心思想，對于實際問題的解決辦法，導數提供了有效的作用。導數在理解教學過程當中具有一定的難度，教師應當在教學過程當中，將實例與導數相互結合，充分進行問題解析，不斷對導數在高中數學的應用進行研究探討，只有這樣才能夠使學生更深刻掌握導數概念，為以后的深入數學學習奠定堅實基礎，

參考文獻

[1]鄧晗陽.導數在高中數學解題中的應用探討[J].科學大眾（科學教育），2016（12）：27.

[2]程慧.導數知識在高中數學學習中的應用探討[J].速讀（上旬），2017（9）：141.

[3]劉金球.高中數學例題解答中導數的應用探討[J].中學生數理化（學研版），2016（2）：33-34.

[4]周海鋒.高中數學導數教學的再思考[J].教師，2015（32）：43.

[5]馬僖澤.關于高中數學導數教學有效性探微[J].新教育時代電子雜志（教師版），2016（38）：97.