數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析

楊善詞

【摘要】在倡導素質教育的現代數學教育中，數形結合是最為常用的教學思想方法之一，對提高學生的數學學習能力，改善教師教學質量具有中重要意義。文章將從數形結合的涵義出發，論述數形結合應用于高中數學教學中的重要作用以及運用過程中需要遵循的原則和要求，并經過具體實例分析，探討數形結合思想在高中數學教學中的應用，為促進高中數學教學質量的提高提供一些參考和啟示。

【關鍵詞】數形結合；高中數學；原則；應用；數轉形；形轉數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）32-0132-02

一、數形結合思想方法的涵義及作用

“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學”（恩格斯語），“數”和“形”是數學的兩個基本構成成分，前者體現了數量關系，后者體現了空間關系，“數”和“形”在一定的條件下能相互轉換，“數無形，少直觀；形無數，難入微”（華羅庚語），所以，數學教學中，經常使用數形結合方法，“由形轉數”，或“由數化形”，將數學中“數”和“形”統一起來，促進教學的順利進行。

數形結合思想方法運用于高中數學教學十分必要，具有重要意義。數形結合思想方法在高中數學中的運用，是素質教育的要求，可以將復雜的問題簡單化，抽象的過程形象化，不僅有助于培養學生的抽象思維能力、形象思維能力以及學生的探究精神，還可以培養學生的各項邏輯思維和事物之間形態轉換的洞察力，促進學生靈活思維和發散思維，啟迪智慧，提升智力。數形結合思想方法的運用，也可以豐富教學課堂，進行多樣化教學，激發學生的學習興趣，活躍課堂氛圍，提高教師教學的有效性。數形結合思想方法可以運用于絕大部分的數學領域中，便于學生系統的掌握數學知識和建立完善的知識體系和科學的知識結構，綜合培養學生發現問題、解決問題的能力，對促進學生觀察力、思考力、洞察力、解決問題的能力等綜合能力具有重要作用，數形結合思想方法已成為高中數學教學必不可少的方法之一，得到了很多數學教師的重視。

二、數形結合思想方法的應用原則和要求

數形結合思想方法的應用要講究一定的原則和要求，才能更好的提高數學教學的有效性。在高中數學教學中使用數形結合方法，要堅持：①等價性原則，即轉化過程中，“數”代表的代數性質和“形”代表的幾何性質必須是等價轉換的，圖形表示與數量關系必須一致；②雙向性原則，即數形結合中，既要考查代數的抽象關系，又要對幾何圖形進行直觀分析，二者兼顧，兩者結合，共同考查；③簡潔性原則。數形結合思想方法應用于數學教學中，是為了將復雜的問題簡單化，難解的問題容易化，縮短時間，提高做題效率，所以，數形結合應用必須遵循簡潔性原則，盡量讓幾何構圖直觀、簡單合理，讓代數計算簡潔明了，避免繁雜的計算和冗余數據的干；④直觀性原則，數形結合不僅應用于具體的集合空間和代數的計算轉換中，也應充分的運用于教學中的圖形演示、實物演示、實物模擬，模型展示等等，充分的將抽象的概念、定義、關系等等具體化、形象化、直觀化，便于學生的理解和識記；⑤靈活性原則。高中教師在利用數形結合方法進行教學時，應根據具體的教學內容進行靈活選擇和應用，不可運用過少無法滿足數學教學需求，不可濫用耽誤時間，不應照搬照抄復制別人的教學方法，應靈活設計適合自己學生水平和學習習慣的教學方法，并積極引導學生感知、觀察、歸納、比較、想象、概括、運算、演繹、證明等等，促進教學質量的提高。

三、數形結合思想方法在高中數學教學中的具體應用

數形結合思想方法在高中數學教學中得到了普遍的運用，歸納起來大致有三種情況：數轉形、形轉數，數、形結合。

1.數轉形

“數轉形”是數學教學中最常用的方法之一，文章通過一道作業題舉例說明：

云南省某市某校高二（1）班21人報名參加了省里的數學競賽，17人報名物理競賽，10人報名化學競賽，這些同學中，有12人同時報名了物理競賽和數學競賽，6人同時報名了化學競賽和數學競賽，5人同時報名了化學競賽和物理競賽，2人同時報名了物理、化學、數學競賽，現在班長要為所有參加競賽的同學訂汽車票，他應該訂幾張票？

老師帶領學生分析這個問題的時候，應引導學生確定一些基本情況，如所有的同學出發的時間和地點都是一致的，目的地也是一致的，所有就不存在轉車，一人用到多張票的情況，票是一人一張的，那么買幾張票的問題，實質就變成了班里參加競賽的總人數問題。競賽項目涉及的人比較多，如果將其轉換為集合問題，用圖形表示參加競賽的人相互間的關系來解決總人數的計算問題就容易多了：利用Venn圖形，將高二（1）班參加競賽的項目的人數的交集、并集、補集表示出來，就可以很便捷、直觀的解決問題：分別用字母表示參加各門競賽的人：A：數學；B：物理；C：化學；D：物理和數學；E：化學和數學F：化學和物理；G：數學、化學和物理，

通過交集、并集、補集處理，可以很清楚的進行人數的計算：

Card（D）=12-2=10，

Card（E）=6-2=4，

Card（F）=5-2=3

Card（A）=21-2-10-4=5

Card（B）=17-2-10-3=2

Card（C）=10-3-2-4=1

所以，高二（1）班總共參加省級競賽的人數為27人，即班長共應訂27張汽車票。

2.形轉數

“形轉數”在數學教學中也十分常用。尤其是函數教學中。比如，在二次函數f（x）=x2+x+b（b>0），若f（n）<0，求f（n+1）的值。這是典型的二次函數題，這樣的題在數學課堂、作業、甚至是各類考試中十分普遍。

根據函數式分析，這個函數是在f（x）=x2+x的基礎上衍生的，并根據函數中出現的數字的正負數分析，畫出f（x）=x2+x函數的圖，點出次函數和X軸的交點坐標，看圖對函數進行分析，若f（x）<0，可得到x的區間為（-1，0），即區間長=1，1>0，符合原函數的要求；將f（x）=x2+x向上平移并使f（x）<0，那此時區間長度也就<1，因為f（n）<0，那n+1，1是大于0的蒸數，所以f（n+1）肯定>0，即得到了這道題的最終答案。通過函數圖直觀的表現函數關系，在根據區間概念對函數進行平移和大小數值分析，很快就得到了答案，十分方便，節約時間。

3.數、形結合

高中數學教學中，單獨的“數”的教學和單獨的“形”的結合都有自己的優勢和不足，很多情況下是需要取長補短，發揮各自優勢，數、形結合一起教學的。

比如函數教學中，不管是一次函數、二次函數、三角函數，求值過程中經常要畫坐標圖，通過觀察坐標圖的移動變化來進行求值，在圓錐、圓等圖形的代數計算中，又通常要將圖形轉化為代數進行表達計算，提高解題效率。

比如，（x-2）2+y2=3是個圓，M（x，y）是此圓上的任意一點，求（x-y）的最大、最小值（x-y）max和最小值（x-y）min。拿到題目，對題目進行分析，根據圓的標準方程式：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中，a、b、r分別表示圓的坐標和半徑相關的數值，也就是說，（a，b）為圓心坐標，r為圓的半徑，那么根據這個圓的方程式（x-2）2+y2=3，得到此圓的圓心坐標為（2，0），半徑為，據此，可以將圓畫出來了，然后設x-y=b，將此方程式轉化為標準方程式，即y=x-b，由于b的正負數是不確定的，所以根據方程式，可以判定y=x-b是與圓相切的兩條直線，b是圓的坐標軸與圓相切的兩個點，將直線在圖中畫出，就可以很容易的判斷這條直線與圓相切時的最大值和最小值了。得到的結果如圖。

四、結語

現代數學教學已不再是傳統的局限于數字運算和單獨的幾何求解的教學了，隨著素質教育等現代教育方法的推行和運用，現代的數學教學除了培養學生的計算能力，更加注重學生綜合能力的培養。高中教學是高中階段教育的基本科目之一，提高數學教育教學水平十分重要。在高中數學教學中運用數形結合的思想進行教學，是符合現代教育要求的，是促進學生邏輯思維能力、空間想象能力、數形轉換能力、觀察力、思考力等能力培養，提高創新精神、探究精神建設，啟迪智慧、開發智力的有效手段。數形結合思想方法的運用要堅持等價原則、雙向原則、直觀性原則、簡潔性原則、靈活運用原則，根據每個班級學生的學習基礎、學習習慣、教學條件和教學環境進行靈活運用。數形結合的思想方法的使用通常有“數轉形”、“形轉數”、“數、形結合”三大類情況，涵蓋于數學教學的眾多領域之中，文章分別舉例進行了分析，希望對促進數形結合思想方法在高中數學教學中的應用提供一些參考和啟示，文章的研究具有一定的價值和意義。

參考文獻

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