線性代數課程教學有效性方法探究

史玉石 田露

摘 要 根據線性代數課程的特點和學生的學習現狀，針對線性代數課程的教學有效性，主要就教師如何通過有效教學從而激發學生有效學習的方法進行研究與探討，針對課前、課中、課下各環節問題提出觀點與方法，注重對學生的引導，以提高學生的學習效率，培養學生借助線性代數解決實際問題的能力。

關鍵詞 線性代數；有效教學；有效學習；多媒體課件；MATLAB

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）22-0078-03

Abstract According to the characteristics of linear algebra course and students learning status， this paper studies and explores the tea-ching effectiveness of linear algebra course， mainly on how teachers can stimulate students effective learning through effective teaching， and puts forward ideas and methods for each link of pre-class， in-class and after-class in order to improve students learning. Learning efficiency， cultivating students ability to solve practical problems with linear algebra.

Key words linear algebra； effective teaching； effective learning； multimedia courseware； MATLAB

1 引言

線性代數是我國各高校經濟管理類和理工類學生必修的一門重要的數學基礎課，能夠提高學生的抽象思維能力、邏輯推理能力，在各專業學生后續課程的學習上有重要的實際應用，而且在研究生考試的數學科目中也占有很大的比重。隨著科學技術的飛速發展，線性代數在計算機科學、經濟學、社會學、物理學等各個領域都有非常重要的應用，學生能夠在以后的工作或生活中借助線性代數的理論方法和思維能力解決實際問題，已顯得尤為重要。

教學有效性，通俗來講就是教學效益，如同企業發展需要追求經濟效益的增長，教師教學所追求的則是自己的有效教學和學生的有效學習[1]。有效教學是指教師通過教學，使學生獲得預期的、應有的和持久的發展；有效學習是學習行為發生者——學生基于自己生存的需要，基于同伴競爭的需要，基于個體興趣的需要，以及基于人生理想、目標實現的需要而進行的學習。有效學習是有效教學的出發點與歸宿，有效教學的核心是喚醒和激發學生的有效學習，教師是否以學生有效學習為中心組織教學，是教學改革成敗的關鍵所在[2]。

在教學中，教師需要不斷思考：如何激發學生的學習興趣，借助形象的描述與解釋將抽象的概念和理論化的數學語言剖析得淺顯易懂，變被動學習為主動學習？如何通過線性代數課程的基本問題及解決過程來培養學生，繼而引導學生將更多的注意力放在能夠自己發現問題、解決問題的思路和過程上，從而使學生更直接地看到數學的思維特點和在自身所學專業以及實際生產生活中的巨大作用和力量，以提高學習的積極性？更深入一點兒來說，線性代數課程教學應該以培養學生解決實際問題的能力為目標。

目前大部分高等院校安排線性代數這門課程的授課學時在40～48學時，有的學校甚至壓縮至32學時，而該課程的內容較多并且高度抽象，致使學生課上學習時間嚴重不足。雖然線性代數課程的重點概念和方法比較集中，但都偏重于自身的理論體系，與高校中各專業相關的案例引入較少。學生在學習中普遍反映線性代數存在概念多、內容抽象、計算過程繁復并且不容易理解等問題，以至于誤認為線性代數這門課學而無用。甚至有很多學生將線性代數的學習定為應付最終的期末考試，不能體會線性代數課程的真正用處，致使教師教學無效。

如何使學生在有限時間內盡快掌握線性代數這門課程，提高學習效率，更可將這門課程的基本知識和一般方法滲透其他后續課程的學習當中，是如今適應應用型人才培養模式的環境，提高應用型人才綜合實踐能力需要面對的問題 。本文針對線性代數課程的教學有效性，主要就教師通過有效教學激發學生有效學習的方法進行研究與探討。

2 線性代數課程實現教學有效性的方法

充分做好課前準備工作 線性代數教師需要把教材研究得十分透徹，對各章節的知識脈絡應該足夠熟悉，重難點把握準確。線性代數的教學內容主要分為行列式、矩陣、向量空間、線性方程組和實二次型。與別的課程相比，線性代數這門課程具有內容抽象，符號多并且容易混淆，公式、計算龐雜，定理證明不易被理解的特點。教師通過對教材的深入研究，理清教學內容的重點及學生不易掌握的難點，根據學生實際情況和認知規律合理設計課堂教學內容。一切以學生為本，教師除了在課前認真備課之外，還需要提前了解學生所學專業，注重數學理論聯系實際應用，多與專業課任課教師溝通，了解線性代數在專業課程中所起的作用。

根據具體的教學內容，聯系學生所學專業內容和已有的知識背景，不斷對學生進行引導。在學習過程中，學生不僅可以獲得線性代數的知識，而且知道這些數學內容將在未來的專業學習中發揮什么作用。這將使學生對未來如何使用這些知識點有一個清晰的認識，以便在以后的學習中取得事半功倍的效果。對同一部分教學內容，針對不同專業的學生，在講授時側重點以及延伸知識點都要重新編排。比如講解二次型時，對經濟管理類的學生要求其掌握標準形、正定二次型等幾個基本定義及基本計算過程，而對計算機類、電光類以及機械類等的工科學生，除了講授基本知識點以外，還可以結合線性變換的內容增加包括圖片壓縮等方面的應用[3]。

對于學生難以理解和接受的一些抽象概念，教師在備課時需要多花心思，借助適用的比喻和形象化的語言或者現實生活中的實際問題來引入。比如給學生介紹矩陣的概念，一般課本引入通常先給出一個線性方程組，再將未知量前的系數及等號后的常數按照在方程組中相對應的位置排列，然后左右加上矩陣的符號，由此生硬地塞給學生矩陣的概念，學生的學習熱情不會太高。

在概念引入之前可以先和學生聊聊大家都喜歡的電影大片，比如正式上課前問學生有沒有看過電影《黑客帝國》，肯定會有學生響應看過；再問這部電影的英文名字是什么，可能學生就不知道了。這時候可以告訴學生，它的英文名字是“The Matrix”，“Matrix”就是矩陣的意思，表示形式為一個數表，矩陣也是這次課需要學習的一個內容。大家都喜歡看的電影竟然可以和枯燥的數學概念聯系起來，激起學生愿意繼續學習本節課的興趣。

和矩陣有關的電影有很多，如《模式識別》《人工智能》等，其中涉及大量計算機科學理論和數學理論在計算機科學中的應用[4]。也可以從實際的例子引出矩陣，比如[5]：

有A、B兩個人玩剪刀、石頭、布的游戲，兩人同時出拳比試，規定勝方得一分，負方得負一分，平手各得零分。讓學生寫出A嬴的表格，就可以很自然地引入矩陣的概念。

由此，學生會了解枯燥的數學概念和理論與實際生活還有密切的聯系。

有效利用各種現代教育信息技術手段改進教學環節，可以充分解決線性代數課程內容抽象、計算過程相對重復復雜與授課學時短之間的矛盾 對于一些比較長的概念、定理推導證明和重復的計算過程，教師在黑板上板書勢必會浪費很多時間，更顯得課堂內容枯燥無味，致使學生失去學習的興趣。此時可利用多媒體課件展現重復計算的內容，并可以在較短時間內給出學生一些教學案例，使教學內容更豐富、更立體。如講到線性方程組的高斯消元法，教師在引入的時候可以用課件舉下面的例子[4]：

約在公元前200～公元前100年間，漢朝張倉所著的《九章算術》中有這樣的例證：有三種谷物，若取第一種谷物3扎、第二種谷物2扎、第三種谷物1扎，共重39石；若取第一種谷物2扎、第二種谷物3扎、第三種谷物1扎，總重為34石；若取第一種谷物1扎、第二種谷物2扎、第三種谷物3扎，總重26石。那么每一種谷物每扎各重多少？

課件顯示一目了然，學生可以很快根據實際問題自己寫出線性方程組。對于怎么求解這個問題，教師可以用課件繼續展示作者的計算方法，通過讓學生觀察，會使他們發現古人解線性方程組問題時使用的方法與矩陣的初等變換法基本一致，由此即可引導學生借助矩陣的初等變換法也就是高斯消元法求解一般的線性方程組。

除了利用多媒體課件提高課堂效率之外，還可借助其他各種教學輔助措施豐富教學內容。隨著智能手機高科技智能化的不斷升級，各種非常實用的大學生手機在線學習軟件隨之產生。如網易公開課、中國大學MOOC等，里面有各著名高校關于線性代數課程方面的教學內容和習題課等學習視頻。教師不僅可以經常在線學習以提高自己的教學能力和水平，還可以針對某一章節的重點內容提前要求學生在課下自主學習；并借助藍墨云班課、雨課堂等教學輔助軟件發布教學資源，在課堂上直接針對教學內容對學生提出問題，使學生更積極主動地參與教學活動。利用QQ或微信建立線性代數學習交流群，隨時接收學生學習中的疑難問題，并在課下對學生的疑難點進行統一答疑，及時反饋。

突出學生的主體地位和教師的導向作用[6]，注重對學生進行引導 對學生不斷提出新問題，引導學生發現問題，通過各種途徑積極解決問題，并且總結經驗方法。比如在介紹過線性方程組的消元法之后，學生已經了解了對增廣矩陣進行初等行變換的過程，但是最終要將矩陣變換到什么程度可以很快地求解出線性方程組，在課上可以先不直接給出學生結論。此時可以列舉出一般矩陣、階梯形矩陣和最簡階梯形矩陣三種矩陣形式，根據對比，最終發現將增廣矩陣初等行變換到最簡階梯形矩陣，可以很快地求解出線性方程組。接著繼續提出問題：是不是所有的線性方程組都是有解的？如果有解或者無解，對于初等變換后的矩陣來講，有什么特點？反映到線性方程組對應的系數矩陣和增廣矩陣上又有什么不同？可以讓學生分小組進行討論，然后每小組派代表總結。

由此，線性代數的課堂也不僅限于教師臺上板書，學生臺下記筆記，有了更多的教師與學生、學生與學生之間的互動。學生在自己解決問題的同時，不僅可以學到新的知識，加深對課程內容的理解，而且鍛煉了自己的邏輯思維能力和伙伴意識。

教師不僅要在思維方式上引導學生，更要在學習模式上加以引導，引導學生從應試型、計算型學習數學課程的模式向應用型、技能型的學習模式轉變。教師在線性代數課上可以適時介紹MATLAB、Mathematic等數學軟件的應用。MATLAB在矩陣間的運算、行列式與線性方程組的求解等線性代數運算中發揮了極大作用，并且程序簡單，計算方便。增設數學實驗課，設置高階矩陣運算、大型線性方程組求解等單純借助紙筆不易解決的問題，引導學生應用MATLAB、Mathematic等軟件編程處理。這樣不僅可以鍛煉學生對計算機軟件的實際操作能力，對后續需要應用到MATLAB的專業課學習也起到很好的促進作用。借助數學軟件，弱化一些復雜問題的手工計算，提高學生的學習效率，并且增強學生的學習興趣。

精心設計，合理編排線性代數作業題目 由于線性代數課程包含大量的概念和計算問題，學生除了在課上聽講，課下抽時間做一些作業題目進行復習鞏固更是必不可少。要使學生能在盡量短的時間內復習課上所學內容，教師需要根據每章節的重難點內容合理編排，由易到難、由淺入深。重要的知識點根據填空、選擇、計算等形式設置分配，不斷強化訓練，以加深學生對學習內容的印象；難度較大的題目以選做題的形式設置，學有余力、學習程度比較好的學生可以選做，而對于學習程度較差的學生只需做必做題目即可。另外，教師還可以在課程末尾設置一些與學生所學專業相關并可利用線性代數基本知識解決問題的建模題目，以小組為單位，以報告或者論文的形式布置給學生。學生在尋求解決辦法的同時，不僅更深入理解了線性代數在所學專業中發揮的作用，更鍛煉了思維能力以及分析解決實際問題的能力。

3 結語

本文從線性代數課程的特點以及學生學習過程中存在的問題出發，提出提高線性代數課程教學有效性的方法，幫助教師提升教學能力，提高學生學習興趣，并且通過發現問題、解決問題，提高學生的學習及綜合應用能力。下一步將不斷反思、總結更新的教學方法，以不斷提高教學質量。

參考文獻

[1]余文森，劉冬巖.有效教學的基本策略[M].福建：福建教育出版社，2012.

[2]明慶華，谷木榮.有效學習是有效教學的出發點與歸屬[J].中國教育學刊，2015（5）：32-36.

[3]黃玉梅.應用型人才培養的《線性代數》課程教學改革探索：以西南大學榮昌校區為例[J].西南師范大學學報：自然科學版，2013（11）：157-161.

[4]王章雄.數學的思維與智慧[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[5]陳永鵬.獨立學院線性代數教學改革探討[J].科技信息，2011（30）：125.

[6]那仁格樂.高校數學課堂教學理論與方法探究：評《數學課堂教學研究》[J].教育評論，2018（1）：167.