基于數學核心素養的高中線性規劃題型分析

羅丹丹 袁仕芳 蔡瑋

摘 要：線性規劃題型的教學涉及函數與幾何等相關知識，還涉及不等式的應用，整個高中數學教學都可以結合數學核心素養進行。本論文通過分析全國高考數學試卷，從基礎題型、應用題型、含有參數題型、綜合題型四個角度，結合數學核心素養，對線性規劃的解題與教學進行了具體嘗試。

關鍵詞：數學建模；核心素養；線性規劃；高考數學

自2016年9月《中國學生發展核心素養》提出學生發展的核心素養以來，數學核心素養已經成為當前初等數學的研究熱點。2016年9月《普通高中數學課程標準》（征求意見稿）中提出了高中數學教育中的數學抽象、邏輯思維、數學建模、數學運算、直觀想象、數學分析六大數學核心素養。并且提出數學核心素養是數學課程目標的集中體現，必須在高中數學課程中得到體現。

線性規劃的教學涉及到函數、不等式和幾何等相關知識，整個教學環節都可以結合數學核心素養進行。我們下面利用全國2011年到2017年全國I卷高考數學試卷題目以及平常的練習題，從基礎題型、應用題型、含有參數題型、綜合題型四個方面結合數學核心素養進行分析。

一、 基礎題型

基礎題型是指利用題中給出的二元約束條件和目標函數，求目標函數的最值或者取值范圍。根據解題方法又可分為直線截距型、斜率型、距離型三類。基礎題型主要運用數學運算等核心素養，可以分為作圖、平移和求最值三個步驟完成。

作圖是指根據約束條件作出可行域；平移是指將目標函數直線進行平移尋找最優解對應點；求最值是根據對應點進行聯合求解，確定對應點坐標并代入目標函數求出結果。

下面以高考全國一卷2015年文科數學第15題為例進行求解分析：

若x，y滿足約束條件x+y-2≤0

x-2y+1≤0

2x-y+2≥0，則z=3x+y的最大值為 .

解：由題目的約束條件作出可行域對應的平面區域如圖。由目標函數z=3x+y，可得y=-3x+z。先畫出直線y=-3x，然后平移直線y=-3x，由圖象可知當直線y=-3x+z經過點A時，直線y=-3x+z的截距最大，此時z最大。由題意可得x+y-2=0

x-2y+1=0，解得x=1y=1，即A（1，1）。此時z的最大值為z=3×1+1=4，故答案為：4。

二、 應用題型

線性規劃的應用題型主要是指以現實生活為背景提煉出來的線性規劃題，主要培養學生的數學建模等核心素養。解決這類題往往需要通過審題，找出變量之間的關系，并且能抽象出實際問題的數學模型，確定好它們的線性約束條件，寫出本問題的目標函數和約束條件。

應用題型最關鍵的一步就是對題目進行一定的分析剝離，將生活問題用數學語言表述成數學模型。這是學生解決這類題型的最大困難，也是培養他們的數學素養的關鍵點，需要教師在課堂教學中耐心指導和有意識地導入。

下面我們以2016年的第16題為例進行求解分析：

某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元。該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A和產品B的利潤之和的最大值為 元。

解：設A、B兩種產品分別需要甲、乙兩種新型材料x件和y件，獲利為z元。由題意確立的目標函數為z=2100x+900y，約束條件為

1.5x+0.5y≤150

x+0.3y≤90

5x+3y≤600

x∈N

y∈N，約束條件表示的可行域如圖。由題意可得

x+0.3y=90

5x+3y=600，

解得x=60

y=100，即A（60，100），則當目標函數z=2100x+900y經過A時直線的截距最大，目標函數取得最大值為2100×60+900×100=21600元。故答案為：216000。

三、 含有參數題型

含有參數題型主要是指模型中的目標函數或者約束條件中含有參數。簡單線性規劃中的含有參數題型主要分為約束條件含參數、目標函數含參數、線性條件且目標函數含參數三種類型。這類題型主要考查學生的邏輯推理等核心素養以及思維的縝密性。

下面主要以2014年文科數學高考題目第11題為例進行求解分析：

設x，y滿足約束條件x+y≥a

x-y≤-1，且z=x+ay的最小值為7，則a=（ ）

A. -5

B. 3

C. -5或3

D. 5或-3

解：由題約束條件可作出可行域如右圖。解方程組

x-y=-1

x+y=a，解得x=a-12

y=a+12，所以A（a-12，a+12），當a=0時，A為（-12，12），z=x+ay的最小值為-12，不滿足題意；當a<0時，由z=x+ay得y=-1ax+za，要使z最小，則直線y=-1ax+za在y軸上的截距最大，滿足條件的最優解不存在；當a>0時，由z=x+ay得y=-1ax+za，由圖可知，當直線過點A時直線y=-1ax+za在y軸上的截距最小，z最小。此時z=a-12+a+a22=7，解得：a=3或a=-5（舍去）。故選：B。

四、 綜合題型

除了前面三種題型，還有一些其他綜合性強、隱藏性高的題型，需要學生進行抽絲剝繭才能轉化成線性規劃題型，再進行解決。這類題是高中線性規劃里的難度較大的題，主要考查學生的觀察能力、發現問題的能力，以及考查學生的數學抽象和邏輯推理等核心素養。

下面以2012年文科數學第5題為例進行求解分析：

已知正三角形ABC的頂點A（1，1），B（1，3），頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內部，則z=-x+y的取值范圍是（ ）

A. （1-3，2）

B. （0，2）

C. （3-1，2）

D. （0，1+3）

解：設C（a，b），a>0，b>0，則由題約束可畫出可行域如圖。由A（1，1）、B（1，3）及△ABC為正三角形可得AB=AC=BC=2，即

（a-1）2+（b-1）2=（a-1）2+（b-3）2=4，所以，b=2，a=1+3，即，C（1+3，2）則此時直線AB的方程x=1，AC的方程為y-1=33（x-1），直線BC的方程y-3=（3-2）

（x-1）當直線x-y+z=0經過點A（1，1）時，z=0，經過點B（1，3），z=2，經過點C（1+3，2）時z=1-3，所以，zmax=2，zmin=1-3，故選A。

在線性規劃題型的教學中融入數學核心素養，主要還是以教師為主導，以學生為主體。提高教師這一方面的意識，在課前、課中、課后三個階段同時注重對學生的數學核心素養培養。課堂的導入將現實問題與教材相結合、多開展一些活動課題等等都是培養學生數學核心素養的途徑。

參考文獻：

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作者簡介：羅丹丹，袁仕芳，蔡瑋，廣東省江門市，五邑大學數學與計算科學學院。