一個常見不等式的加強及應用

宗仲

[摘 要] 一個常見不等式lnx

[關鍵詞] 加強不等式；啟發；構造；等價變形；外接；證明

不等式問題一直是高考命題中的一個熱點，對有些不等式的求解，常有學生不會變通或思維定式，導致因運算過繁而計算終止或棄而不解，針對這種情況，本文就結合教學中一個常見的不等式進行了加強和應用，幫助學生優化解題.

不等式lnx

證明：令f（x）=x-lnx，所以f′（x）=1-=，

所以f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以f（x）min=f（1）=1，所以x-lnx>1>0，所以x>lnx.

同理：令g（x）=ex-x，所以g′（x）=ex-1>0在（0，+∞）上恒成立，

所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以g（x）min=g（0）=1，所以ex-x>1>0，所以ex>x.

綜上：lnx

從圖像上來深入研究：y=lnx的圖像與y=ex的圖像關于直線y=x對稱.

（1）將y=lnx圖像向上平移一個單位，將y=ex圖像向右平移一個單位，

【加強1】 lnx+1≤x≤ex-1（當x=1時等號同時成立）.

（2）將y=lnx圖像向左平移一個單位，將y=ex圖像向右平移一個單位，

【加強2】 ln（x+1）≤x≤ex-1（等號不同時成立）.

（3）將y=lnx圖像向上平移一個單位，將y=ex圖像向下平移一個單位，

【加強3】 lnx+1≤x≤ex-1（等號不同時成立）.

（4）將y=lnx圖像向左平移一個單位，將y=ex圖像向下平移一個單位，

【加強4】 ln（x+1）≤x≤ex-1（當x=0時等號同時成立）.

（5）將lnx+1≤x變形？圯ln+1≤？圯-lnx+1≤？圯1-≤lnx，

【加強5】 ≤lnx≤x-1（當x=1時等號同時成立）.

（6）將x+1帶入加強5中，

【加強6】 ≤ln（x+1）≤x（當x=0時等號同時成立）.

【加強不等式的應用】

例1：用二分法求方程lnx=在[1，2]上的近似值，取中點x=，則下一個有根區間為___________.

分析：計算f（x）=lnx-在x=1，x=2，x=處的符號，然后利用零點存在定理確定區間. 此時可利用加強5：≤lnx≤x-1，將x=代入即可得：≤ln≤<，再將x=2代入即可得：≤ln2≤1，故f（）=ln-<0.又因為f（2）=ln2->0，因此下一個有根區間為，2.

例2：求證：···…<（n≥2，n∈N*）.

分析：一般看到有關正整數的證明首選的方法便是數學歸納法，而這里我們發現仍然是跟lnx有關的問題，且不等式左邊是連續相乘，因此希望左邊可以累乘.

利用加強5：≤lnx≤x-1可以得到≤（當x=1時等號同時成立），

因此···…<···…=，得證.

例3：求證：1+++…+>ln（n+1）（n∈N*）.

分析：類似例2，此時我們利用加強6：≤ln（x+1）≤x，將代入得ln+1≤，

所以ln≤，所以ln+ln+ln+…+ln<1+++…+，

所以ln··…=ln（n+1）<1+++···+，得證.

例4：已知函數f（x）=ex，g（x）=lnx，對于它們的公共定義域內的任意實數x0，我們把f（x0）-g（x0）的值稱為兩函數在x0處的偏差，求證：函數y=f（x）和函數y=g（x）在公共定義域內的所有偏差都大于2.

分析：要證明兩函數的所有偏差都大于2，只要證f（x0）-g（x0）>2在公共定義域內恒成立. 利用加強3：lnx+1≤x≤ex-1（等號不同時成立）可得ex≥x+1.

又因為lnx+1≤x，所以ex≥x+1≥lnx+2（等號不同時成立），所以ex-lnx>2得證.

當然還可以對不等式進一步加強，此外必須強調一點：若要利用強化不等式解題是需要證明的，當然證明類比最初的不等式，利用構造函數的思想處理即可. 另外，加強不等式的相關應用還有很多，需要學生在不斷解題過程中去挖掘它們的優勢.