待定系數(shù)法：容易被人遺忘的角落

劉紅英

[摘 要] 待定系數(shù)法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一，但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)它沒(méi)有引起師生的足夠重視，往往被忽視，文章以歷年浙江高考數(shù)學(xué)題為例對(duì)待定系數(shù)法應(yīng)用做一個(gè)比較全面的概括，以回歸其應(yīng)有的地位.

[關(guān)鍵詞] 浙江高考題；待定系數(shù)法；方法應(yīng)用

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若是知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可研究和引入一些尚待確定的系數(shù)來(lái)表示這樣的結(jié)果，通過(guò)變形與比較，建立起含有待定字母系數(shù)的方程（組），并求出相應(yīng)字母系數(shù)的值，進(jìn)而使問(wèn)題獲解，這種方法稱之為待定系數(shù)法. 其理論依據(jù)是多項(xiàng)式的恒等定理即以標(biāo)準(zhǔn)形式給出的兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充要條件是這兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等. 待定系數(shù)法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一，但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)它沒(méi)有引起師生的足夠重視，往往被忽視，本文試圖以歷年浙江高考數(shù)學(xué)題為例對(duì)待定系數(shù)法應(yīng)用做一個(gè)比較全面的概括，以回歸其應(yīng)有的地位，現(xiàn)分述如下：

利用待定系數(shù)法求參變量

例1 （2014年浙江卷理6）

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A. c≤3？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 3

C. 69

解析：因f（-1）=f（-2）=f（-3），所以可設(shè)f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+d，比較兩者f（x），由待定系數(shù)法可得d=c-6，令x= -1，得d=c-6∈（0，3]，故6

評(píng)注：一般地，若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的零點(diǎn)為x1，x2，x3，可設(shè)f（x）=a（x-x1）·（x-x2）（x-x3）；若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的值滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），可設(shè)f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）+d+ax1x2x3；高次函數(shù)也可類似設(shè).

例2 （2015年浙江卷理15）

已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=，且對(duì)于任意x，y∈R，b-（xe1+ye2）≥b-（x0e1+y0e2）=1（x0，y0∈R），則x0=______，y0=______，b=______.

解析：b-（xe1+ye2）2=b2+x2+y2-4x-5y+xy=x++（y-2）2+b2-7，

由題意可知，當(dāng)x=x0，y=y0時(shí)，b-（xe1+ye2）有最小值1.

由待定系數(shù)法得x0+=0，y0-2=0，b2-7=1，

所以x0=1，y0=2，b=2.

評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵有二：一是明確b-（xe1+ye2）的最小值為定值

b-（x0e1+y0e2），二是模的平方后的配方，然后由待定系數(shù)法列出方程組. 一般地，向量模的問(wèn)題往往通過(guò)平方或構(gòu)造圖形或建立坐標(biāo)系來(lái)解決，然后挖掘圖形或坐標(biāo)間內(nèi)在聯(lián)系建立含有待定系數(shù)的恒等關(guān)系.

例3 （2010年浙江卷理7）

若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0， 且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m等于（ ）

A. -2？搖？搖？搖？搖 ？搖B. -1？搖？搖？搖？搖？搖C. 1？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 2

解析：由圖像可知：當(dāng)x+y取最大值9時(shí)，直線x+y=9過(guò)2x-y-3=0與x-my+1=0的交點(diǎn)，因2x-y-3=0與x+y=9的交點(diǎn)為（4，5），把（4，5）代入直線x-my+1=0，由待定系數(shù)法得m=1.

評(píng)注：本題的待定系數(shù)m已給出，無(wú)須再引進(jìn)參數(shù)，問(wèn)題反過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)化為根據(jù)結(jié)論x+y的最大值為9結(jié)合圖形來(lái)確定已知中的待定系數(shù)m的值.

利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

例4 （2016年浙江卷理10）

已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A>0），則A=________，b=________.

解析：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1 ，所以A=，b=1.

評(píng)注：本題的實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)代數(shù)式從一種形式變換為另一種形式，并且保持變形前后的兩個(gè)代數(shù)式是恒等的，也就是形變而值不變，然后用待定系數(shù)法求出A，b值.

例5 （2011年浙江卷文18）

已知函數(shù)f（x）=Asinx+φ，x∈R，A>0，0<φ<. y=f（x）的部分圖像，如圖1所示，P，Q分別為該圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，A）.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；

（Ⅱ）若點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1，0），∠PRQ=，求A的值.

解析：（Ⅰ）由題意得，T==6.

因?yàn)镻（1，A）在y=Asinx+φ的圖像上，所以sin+φ=1.

又因?yàn)?<φ<，所以φ=.

？搖 （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x0，-A），

？搖由題意可知x0+=，得x0=4，所以Q（4，-A）.

？搖連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=，由余弦定理得

？搖cos∠PRQ===-.

解得A2=3. 又A>0，所以A=.

評(píng)注：一般地，解決函數(shù)與圖像有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵是充分挖掘圖像包含的信息，然而利用幾何條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）.

利用待定系數(shù)法求方程

例6 （2010年浙江卷理21）

已知m>1，直線l：x-my-=0，橢圓C：+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；

（Ⅱ）略.

解析：（Ⅰ）因?yàn)橹本€l：x-my-=0經(jīng)過(guò)F2（，0），

所以=，得m2=2.

又因?yàn)閙>1，所以m=，

故直線l的方程為x-y-1=0.

例7 （2009年浙江卷理20）

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=c-，設(shè)c=，bn=，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

解析：bn+1===+2，即bn+1=4bn+2. 設(shè)bn+1+λ=4（bn+λ），由待定系數(shù)法得λ=，則bn+1+=4bn+，故bn+是首項(xiàng)為-，公比為4的等比數(shù)列，即bn+=-×4n-1，則bn=--.

評(píng)注：求形如數(shù)列an+1=pan+q的通項(xiàng)公式，可引進(jìn)待定系數(shù)得an+1+λ=p（an+λ），從而構(gòu)造新數(shù)列{an+λ}是公比為p的等比數(shù)列.

利用待定系數(shù)法求最值

例8 （2011年浙江卷理16）

設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

解析：待定系數(shù)λ，μ，則：

（2x+y）2=4x2+y2+4xy

=4x2+y2+2λxμy+（4-2λμ）xy≤4x2+y2+（λx）2+（μy）2+（4-2λμ）xy

=（4+λ2）x2+（1+μ2）y2+（4-2λμ）xy（λ，μ>0）.

取4+λ2=4（1+μ2）=4（4-2λμ），則λ2=，μ2=.

即（2x+y）2≤（4x2+y2+xy）=，所以2x+y≤.

類似地還可進(jìn)一步求：

例9 若x，y，z是正數(shù)，且滿足x+2y+3z=1，求++的最小值.

解析：待定系數(shù)α，β，γ，設(shè)+αx+αx+αx≥4，

同理+3βy≥4，+3γz≥4，三式相加.

因?yàn)閤+2y+3z=1，可見(jiàn)當(dāng)且僅當(dāng)α∶β∶γ=1∶2∶3時(shí)，

即∶∶=1∶2∶3時(shí)取等號(hào)，結(jié)合x+2y+3z=1，得

x=，y=，z=時(shí)取等號(hào)，++的最小值為1296.

評(píng)注：根據(jù)題目需要可引進(jìn)2個(gè)及以上待定系數(shù)，一般地求不等式最值往往采用多個(gè)待定系數(shù)，同時(shí)還要考慮等號(hào)能否同時(shí)成立.

從上可知，待定系數(shù)法是歷年浙江高考數(shù)學(xué)卷中的“常客”， 應(yīng)該把它放到足夠高的地位，同時(shí)利用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是把握好三關(guān)：一是“引進(jìn)關(guān)”：根據(jù)題意引進(jìn)恰當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的結(jié)構(gòu)形式；二是“聯(lián)列關(guān)”：根據(jù)已知條件，利用恒等式相等或幾何條件或定義本身的屬性等列出方程（組）；三是“求解關(guān)”：求出各待定字母系數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題.endprint