活用構造思維，巧解數學難題

劉小樹

[摘 要] 構造法是一種打破常規思維的數學方法，在高考中占有重要地位.文章從一道不等式證明題引入，通過構造數列的方法巧妙地解決問題，接著對構造法展開深入思考，研究了構造方程和函數在高中數學中的應用.

[關鍵詞] 構造；數列；方程；函數

構造思想在高中數學中的重要性不言而喻，構造思想是各種知識之間相互聯系的紐帶，通過構造，可以使得復雜的問題簡單化，起到事半功倍的效果. 掌握構造法還能夠增強學生思維的靈活性以及開拓性，所以對于構造法的研究非常有必要.

構造數列，引出論點

（2017年蚌埠市高考模擬題） 證明不等式++…+>1（n∈N*）.

思路剖析

構造數列：an=++…+，那么an+1-an=++-=+-=>0，所以數列{an}是遞增數列，又a1=++=>1，所以an>1（n∈N*），所以原不等式得證.

題后反思

本題中采用構造數列的方法巧妙地解決了不等式證明問題，通過新構造出的數列，巧妙地判斷出該數列是遞增數列，從而證明不等式.通過構造數列不僅僅可以解決不等式證明問題，對于一些難以解決的解方程問題，通過構造數列可以事半功倍地解決問題，提高解題效率.

思維拓展：（2016年滄州市高考模擬題）解方程-=3x+2.

思路剖析

本題可以采用構造法，根據已知條件，再結合等差數列的性質，可以發現，，-構成一個等差數列，可以設=-d，-=+d，觀察以上兩式，將兩式平方之后相減得：-2（3x+2）= -2（3x+2）d，解出d=1或x=-. 當d=1時，代入=-d，解得x=是方程的增根，故舍去；當x= -時，檢驗之后符合題意，所以原方程的根為x=-.

反思小結，承前啟后

從以上兩道題可以發現，構造數列的方法對于解決某些不等式證明，以及解方程問題可以起到事半功倍的效果，對于發散學生的數學思維大有裨益. 構造數列僅僅是構造法中的一個小的分支，但是其中體現的數學思想都是一脈相承的. 構造法的核心是打破常規的解題思路，將看似復雜的問題簡單化、具體化，將高中數學中所學的知識有機地串聯起來，利用“他山之石”，攻破數學難題. 本文接下來就著重討論通過構造方程、構造函數來解決問題，讓學生能夠從具體題目中領略構造之美，感受數學之美.

構造方程，化繁為簡

作為高考中的熱點內容，圓錐曲線問題一直以來都因其煩瑣的計算成為學生學習路上的攔路虎. 因此，優化圓錐曲線問題中的解題過程，減小計算過程中運算量顯得至關重要. 而通過構造方程的方法，能夠充分挖掘題目中的條件，合理利用問題結構特征，就可以省去繁雜的計算過程，大大減小計算量，提高解題效率，做到化繁為簡.

（2016江西省高考模擬題） 已知橢圓的軌跡方程為x2+y2=1，已知橢圓外一點（0，2），過該點引任意直線，直線與橢圓相交于A，B兩點，求A，B中點P的軌跡方程.

問題剖析

可將A，B的坐標分別設為A（x1，y1），B（x2，y2），將A，B中點P的坐標設為（x，y）. 因為A，B都是橢圓上的點，所以可得方程組x+y=0，①x+y=0，②

②-①得，（x2-x1）（x2+x1）+（y2-y1）·（y2+y1）=0，根據中點公式上式可化簡為

x（x2-x1）+2y（y2-y1）=0，所以= -，而即為過A，B兩點的直線斜率.又因為該直線經過橢圓外一點（0，2），通過該點和P點，直線的斜率還可以表示為，所以能夠得到等式= -，化簡之后可以得到x2+2y2-4y=0，所以A，B中點P的軌跡方程為x2+2y2-4y=0.

構造函數，化難為易

函數問題是高中數學中的重中之重，對于許多數學問題，直接求解會有很大的難度，若能根據已知條件，構造出輔助函數，再借助函數的性質來解決問題會讓問題簡單化，而且這種方法思路清晰，是一種不可多得的好方法，如果能夠熟練掌握這種方法，許多難題將會迎刃而解.

（2017年北京市高考模擬題） 已知函數f（x）=ln.

（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2）證明：當x∈（0，1）時，f（x）>2x+.

思路剖析

對于第（1）問，由于篇幅有限，并且對構造函數沒有涉及，與本文相關度不大，在此直接給出答案，切線方程為y=2x. 對于第（2）問，采用構造函數的方法，令F（x）=f（x）-2x+=ln-2x+，x∈（0，1），對新構造的函數進行求導，得F′（x）=-2（1+x2）=. 當x∈（0，1）時，F′（x）恒大于0，所以F（x）在（0，1）上是單調增函數，所以F（x）>F（0）=0，即f（x）-2x+>0，所以當x∈（0，1）時，f（x）>2x+.

寫在最后

古語有云：“他山之石，可以攻玉”.高中數學中所學到的數列、方程、函數知識都可以稱為“他山之石”，而構造恰恰就是將這些知識與那些數學難題聯系起來的紐帶，構造法以高中數學的相關知識為背景，結合題目中的相關條件來解決問題. 若能合理地運用構造法，對于提高解題效率，破解數學難題都能起到很大的幫助. 而更重要的是，構造思想的靈活性以及發散性對于鍛煉學生的數學思維大有裨益，在高考復習過程中，需要學生細心體會，勤于訓練，才能更好地領悟構造思想.endprint