巧借恒等式處理一類直線過定點問題

張翼飛

[摘 要] 文章介紹一種借助代數恒等式處理直線過定點的方法.？搖

[關鍵詞] 恒等式；斜率比；定點

圓錐曲線中有很多優(yōu)美的性質，本文從代數恒等式的角度處理橢圓中一類斜率比值為定值引出的直線過定點問題，希望通過本文和大家分享用代數方法解決幾何問題的美感.

結論：已知橢圓Γ：+=1（a>b>0）和定點A（x0，y0），B（-x0，-y0），點P，Q是橢圓Γ上的動點，且滿足kPA=mkQB（m≠ -1），求證：直線PQ過定點.

證明：法1：設P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線PQ：（y2-y1）x-（x2-x1）y-（x1y2-x2y1）=0.

因為kPA=mkQB（m≠-1），所以=m.

因為==-，所以=m.

由=m可得mx1y2-x2y1=mx0y2+x0y1-my0x1-y0x2+（m-1）x0y0.

由=m可得mx2y1-x1y2=mx0y1+x0y2-my0x2-y0x1+（m-1）x0y0，

兩式相減可得（m+1）（x1y2-x2y1）=（m-1）x0（y2-y1）+（m-1）y0（x2-x1），

x1y2-x2y1=x0（y2-y1）+y0（x2-x1），

PQ：（y2-y1）x-（x2-x1）y-x0（y2-y1）-y0（x2-x1）=0，

故直線PQ過定點x0，-y0.

法2：設A（acosα，bsinα），P（acosβ，bsinβ），Q（acosγ，bsinγ），則B（acos（α+π），bsin（α+π）），

kPA==-·，

kQB=-·=·.

因為kPA=mkQB（m≠-1），所以cos·cos+msinsin=0，

所以cos+cos+α+mcos-cos+α=0，

所以cos=cos+α，即cos=coscosα-·sinsinα，

直線PQ：b（sinγ-sinβ）x-a（cosγ-cosβ）y-absin（γ-β）=0，

即bcosx+asiny-abcos=0.

直線PQ：bcosx+asiny-abcoscosα+absin·sinα=0，

即PQ：bcosx-acosα+asiny+bsinα=0，

故直線PQ過定點x0，-y0.endprint