看透高考?jí)狠S題的數(shù)學(xué)背景

涂勇

[摘 要] 文章通過(guò)對(duì)三道高考題的數(shù)學(xué)背景的探索，試圖挖掘高考?jí)狠S題的編制思路，并嘗試了原創(chuàng)壓軸題.

[關(guān)鍵詞] 高考；壓軸題；數(shù)學(xué)背景

高考?jí)狠S題以其創(chuàng)新的形式、思維的深度和靈活性著稱，但壓軸題也不會(huì)脫離數(shù)學(xué)的核心和本質(zhì)，不是一味地追求技巧和復(fù)雜度，壓軸題的背后往往有深刻的數(shù)學(xué)背景知識(shí). 筆者在教學(xué)過(guò)程中，遇到幾道高考?jí)狠S題，就是如此，下面做出說(shuō)明.

例1 （2013廣東理科第8題）

設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，集合S={（x，y，z）x，y，z∈X，且三條件x

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

分析：答案是B. 本題可以通過(guò)取特殊值或者分類討論得出結(jié)果，但這些方法都沒(méi)有看清本題的數(shù)學(xué)本質(zhì). 筆者認(rèn)為本題的數(shù)學(xué)背景是圓排列情形. 事實(shí)上，x

例2 （2013重慶理科第10題）在平面上，⊥，==1，=+，若<，則的取值范圍是（ ）

A. 0，

B. ，

C. ，

D. ，

分析：答案是D. 筆者認(rèn)為：本題的數(shù)學(xué)背景知識(shí)是平面四邊形的四邊平方和等于對(duì)角線平方和，也就是三角形的中線公式. 解法如下：本題中，OM既是△OAP又是△OB1B2的中線.利用中線公式，在△AOP中，有2（OA2+OP2）=（2OM）2+AP2；而在△OB1B2中，有2（OB+OB）=（2OM）2+B1B，于是有OA2+OP2=OB+OB=2.

例3 （2014湖北理科第14題）如圖2，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且AB=2.

（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：

①=；②-=2；③+=2，

其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________. （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

分析：本題的背景知識(shí)是：阿波羅尼斯圓和調(diào)和分割. 設(shè)EF為圓O的直徑，若點(diǎn)B，A調(diào)和分割線段EF，而EF的中點(diǎn)為O，于是有結(jié)論：①對(duì)于圓上任意一點(diǎn)M（或N），=為定值；②OA·OB=OE2. 于是本題第（Ⅱ）問(wèn)可以這樣求解：由圓C的切割線定理可知OA·OB=OT2=1=OM2，于是B，A正好調(diào)和分割線段EF. 設(shè)OA=x，于是x（x+2）=1，x=-1，因此====+1.

高考?jí)狠S題并不是僅僅在拼技巧和湊數(shù)據(jù)，一方面壓軸題的出題要兼顧高中數(shù)學(xué)知識(shí)載體，另外一方面也要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維和本質(zhì)，于是利用一些適合的數(shù)學(xué)背景知識(shí)，就可以做出具有創(chuàng)新性的壓軸題.筆者在教學(xué)過(guò)程中也曾經(jīng)利用這種處理辦法出了一道全新題目.

例4 （筆者新編）過(guò)橢圓C：+=1（m>0）的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，MN的垂直平分線交x軸于P點(diǎn)，若以|MN|、4|PF|、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成長(zhǎng)軸長(zhǎng)為最大邊的鈍角三角形，則m的取值范圍是（ ）

A. ，4

B. 0，

C. ，4

D. 0，

答案：B

解答：+=1，y=k（x-c） ？圯（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，

x1+x2=，MN=2a-e（x1+x2）=，MN的垂直平分線為：y+=x-，令y=0，得xp=，于是PF=c-xp=，所以PF=MN.

因?yàn)橐訫N、4PF、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成長(zhǎng)軸長(zhǎng)為最大邊的鈍角三角形，

設(shè)MN=x，于是有x+2ex>2a，x2+（2ex）2<（2a）2 ？圯x∈，，

由于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的范圍是，2a，于是，∩，2a≠，

所以<，即（1+4e2）（1-e2）2<1，解得e2>，于是m<.

分析：PF=MN是圓錐曲線中一個(gè)已知的結(jié)論，證法很多. 但如果學(xué)生按照上述解法來(lái)求解，那就考查了弦長(zhǎng)問(wèn)題、中垂線問(wèn)題、解三角形問(wèn)題、存在性問(wèn)題，還得注意觀察式子之間的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生的思維要求較高. 利用已知結(jié)論考出新意，不失為壓軸題的一種可以借鑒的出題方法.