轉化立體幾何，等量考究體積

王小梅

[摘 要] 立體幾何體積問題是高考的重點題型，對于該類問題可以采用特定的轉化思想，例如等體積轉化法，將幾何體轉變?yōu)檩^為熟悉的幾何體，或者建立兩者之間的體積關聯(lián)，然后推理論證求解. 結合具體實例簡要講解等體積轉化法求解幾何體積的解法思路，并開展相應的教學反思.

[關鍵詞] 立體幾何；體積；等體積；轉化

高考中的立體幾何體積問題常因幾何結構抽象復雜、求解條件隱含不足，造成學生思維受阻，難于直接求解. 轉化法是一種重要的思想方法，對于該類問題有著良好的解題效果，合理運用可將問題簡化處理.

真題解析，試題點評

1. 真題呈現

（2017年北京高考文科數學第18題）如圖1所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.

（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）當PA∥平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積.

2. 試題解析

分析：（Ⅲ） 求三棱錐E-BCD的體積，分析三棱錐P-ABC可知，PA⊥平面ABC，底面ABC為等腰直角三角形，求三棱錐P-ABC的體積較為容易，可嘗試用等體積轉化的方式，建立三棱錐E-BCD的體積和三棱錐P-ABC的體積上的數量關系，通過求P-ABC的體積來達到求解的目的.

解：由PA⊥ABPA⊥BC ，可知PA⊥平面ABC. 因為AB⊥BC，AB=BC，D為線段AC的中點，可知S△BCD=SABC. 因為PA∥平面BDE，PA？奐平面PAC，平面PAC∩平面BDE=DE，所以PA∥DE，進一步可知DE⊥平面ABC，DE=PA，所以VE-BCD=··=，則VE-BCD=.

3. 試題點評

本題為高考常見的求空間幾何體的體積問題，主要考查學生的空間想象能力和數學轉化方法的使用. 上述求解三棱錐的體積，因原幾何體的底面積和高的求解條件不足，使用了等體積的轉化法，建立起與形狀較為特殊的幾何體的體積關系，通過求該幾何的體積達到間接求解的目的. 體積轉化思想的利用降低了思維難度，使得問題變得直觀易求，該思想方法對于求解幾何體積問題有著良好的解題效果，可對其進行推廣使用.

試題銜接，方法利用

上述考題采用的等體積轉化法可用于求解條件不足、幾何形狀較為抽象的幾何體積，等體積轉化法使用的基本思路是：首先判斷幾何體的形狀以及結構特征，同時對其進行底面和高的變換，或者建立與形狀特殊幾何體的體積關系，通過對轉化后的幾何體求解來實現問題的解答. 體積轉化過程必須滿足體積等量變化，體積關系準確無誤.

試題1：如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E，F分別為線段AA1，B1C上的點，求三棱錐D1-EDF的體積.

分析：如果直接求三棱錐D-EDF的體積就需要求得△EDF的面積和三棱錐的高，但兩未知量均不容易求得，可嘗試進行等體積轉化，轉化為求以F為頂點、△DD1E為底面的三棱錐，即VD1-EDF=VF-DD1E.

解：正方體的棱長為1，點E，F分別為線段AA1，B1C上的點，則頂點F到平面DD1E的距離就為正方體的棱長，ΔDD1E的面積為：S△DD1E=DD1·AD=，所以VD1-EDF=VF-DD1E=.

試題2：（2016年全國卷Ⅲ文科數學第19題）如圖3所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求四面體N-BCM的體積.

分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）取PB中點Q，連接AQ，NQ，分析可知QN∥平面ABCD.求四面體N-BCM的體積，可進行等體積轉化，VN-BCM=VQ-BCM. Q為PB的中點，點Q到底面ABCD為點P到底面距離的一半，進一步轉化為VQ-BCM=VP-BCM. AD∥BC，則S△BCM=S△BCA，則VP-BCM=VP-BCA，從而可以得到VN-BCM=VP-BCA，由此求四面體P-BCA的體積較為容易.

解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）如圖4所示，因為Q，N分別為PB，PC的中點，則QN∥BC，BC？奐平面ABCD，所以QN∥平面ABCD，則VN-BCM=VQ-BCM=VP-BCM=VP-BCA，所以VN-BCM=×PA·S△ABC=.

上述兩道幾何題的求解過程是對等體積轉化思想的充分體現，試題1通過幾何體的底面和高的同時轉化實現了問題的求解；試題2則是充分利用幾何性質，把握圖形的面積關系，建立起與形狀特殊、體積易得的幾何體的體積關系，達到了體積轉化，簡化作答的目的. 三棱錐的體積公式V=Sh是求解的核心公式，靈活使用可輔助轉化求解.

解后反思，教學思考

1. 立足公理，發(fā)展思維

立體幾何是建立在公理推理、邏輯嚴密基礎上的學科，是對數學邏輯科學嚴謹性的充分體現，立體幾何的求解必須從特定范圍內的基礎真命題出發(fā)，逐步推演，合理考量.因此對于立體幾何的學習必須立足公式定理，理解公理化思想，掌握幾何基礎知識，構建完整的知識體系. 在教學中教師要基于學生的已有知識，緊密圍繞公理化思想開展幾何教學，逐步引導學生形成合理推斷、理性思考的學習習慣. 通過幾何直觀問題，動態(tài)想象的教學流程，培養(yǎng)學生探索分析、推理論證的數學思維，促進學生的幾何直觀想象能力的發(fā)展.

2. 學習思想，提升能力

數學的學習過程關鍵在于對數學思想方法的學習，數學思想是對數學知識的升華，也是解決數學問題的核心手段，它滲透在數學學習的全過程中，例如求幾何問題涉及的轉化法，是實現未知問題簡單化的思想橋梁，是一種基本的數學思想. 理解把握好數學思想對于解決數學問題有著重要的意義，在教學中教師要從思想方法的本質出發(fā)，結合典型考題，引導學生掌握思想方法的解題思路和使用技巧，培養(yǎng)學生的解題思維，從思想上提升學生的解題能力.

3. 把握考題，探究學習

對于立體幾何的習題課教學要充分利用高考真題，歷年真題都是經過命題人細致斟酌、反復推敲后確定的，凝聚了眾多命題者的智慧精華，對于學生的學習備考有著巨大的幫助. 教師在選題時要精選那些能夠體現數學思想的特定問題，通過解題讓學生理解掌握其中蘊含的思想方法，提升解題效率. 課堂教學應倡導探究論證的方式，充分調動學生的積極性，讓學生充分參與教學活動，親歷教學過程，培養(yǎng)學生的自主探究能力.

結束語

數學的解題過程本質上就是不斷簡化的過程，對于立體幾何的體積問題可以充分利用等體積轉化法，準確把握幾何性質，開展推理論證，使幾何體積問題實現直接轉化，以不變應萬變的方式實現問題的完美解決. 在教學中教師要開展公理教學，幫助學生充分理解立體幾何的公式定理，注重數學思想的滲透學習，結合考題，開展探究學習，培養(yǎng)學生解題思維，提升自主學習能力.endprint