論一題多解與多題一解

劉建明

摘 要 在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，一題多解與多題一解經(jīng)常被人提及，所謂一題多解，是通過不同的解題思路，采用不同的解題方法和不同的運(yùn)算過程去分析求解，而多題一解是對(duì)同一類型或者能夠采用統(tǒng)一的解題方法的題型，歸納總結(jié)出相應(yīng)一體化的解題方案，達(dá)到以不變應(yīng)萬變的解題高度。前者在于拓寬解題思路，發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生積極思考的解題素質(zhì)，后者在于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)同類題型進(jìn)行歸納總結(jié)，提高解題能力。

關(guān)鍵詞 多題一解一題多解 發(fā)散思維 歸納總結(jié)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

克萊恩說過“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度?！睌?shù)學(xué)的魅力在于它的多樣性 ，一道題目能夠有不同的解決方式，即人們常說的一題多解；這兩種數(shù)學(xué)思想對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力，進(jìn)一步提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有著極其重要的作用。

1一題多解在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

一題多解是指一道數(shù)學(xué)題會(huì)有不同的解題方法和不同的運(yùn)算過程去分析求解，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用于拓展學(xué)生發(fā)散思維的一種方法。它在幾何與代數(shù)教學(xué)中都有體現(xiàn)。

一題多解在幾何中運(yùn)用最廣泛的是平面幾何內(nèi)容，例如以下這道題。

在△ABC中，AB=BC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE連線交BC于F，求證：DF=EF

證法1：過D做DG平行于AE，通過△DGF≌△ECF，從而得到DF=EF。

證法2：過E做DG平行于AB交BC延長線于G，通過證明△FDB≌△FEG從而得到DF=EF。

證法3：過B做BG平行于AE，過E做EG平行于BC，連接GF，通過證明BG=CE=BD，△BDF=△BGF，∠GEF=∠BFD=∠BFG=∠EGF，得證CF=GF=DF。

證法4：過D做DG平行于BC，過C做CG平行于BD，連接FG，與上面證法類似，得出DF=EF。

證法5：過E做EG平行于BC交AB延長線于G，通過證AG=AE，BG=CE=BD，由平行線等分線段定理得證DF=FE。

類似的還可以做DG平行BC交AE于G等等，本題通過靈活的輔助線，以不同的證法，融合初中全等三角形，平行線定理，等腰三角形等角對(duì)等邊這方面的平面幾何知識(shí)，在鼓勵(lì)學(xué)生拓寬思維，積極思考解題思路，提升教學(xué)樂趣的同時(shí)，以一道題鞏固初中各種平面幾何知識(shí)，相比于每種知識(shí)講解一道題的形式而言更加事半功倍。

既然一題多解好處如此之多，那么一題多解的教學(xué)關(guān)鍵又在何處呢？

對(duì)于學(xué)生而言，一題多解的關(guān)鍵在于發(fā)散思維，在于解；對(duì)于教師而言，一題多解的關(guān)鍵則在于題，如何能夠找到甚至創(chuàng)造出能夠多解，融合多種知識(shí)的題型是一題多解的教學(xué)關(guān)鍵。這對(duì)教師有著非常高的要求，首先要對(duì)學(xué)生已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)有著非常高的敏感度，全面細(xì)致透徹地了解知識(shí)點(diǎn)是基礎(chǔ)；更進(jìn)一步則要求教師對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考題有足夠的儲(chǔ)備，對(duì)于題型要有高敏感度；最后則要求教師要有較高的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)。三者缺一不可，基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖，沒有知識(shí)點(diǎn)的全面掌握連基本的教學(xué)效果都達(dá)不到就更不用談一題多解教學(xué)；巧婦難為無米之炊，沒有題型的儲(chǔ)備，即使再有創(chuàng)新的想法也難以落到實(shí)處；逆水行舟固步自封，執(zhí)拗于古板的傳統(tǒng)教學(xué)，不思創(chuàng)新進(jìn)取也難以取得教學(xué)上的突破。

2多題一解在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

相比于一題多解，多題一解也是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。它更重視學(xué)生的歸納總結(jié)能力，在一定數(shù)量的題型研討學(xué)習(xí)之后，根據(jù)特定類型的題目總結(jié)出一套特定的解題方案或者思路，例如平面幾何中的輔助線有圓常用的中垂線，求解帶參數(shù)的不等式等等，這類典型的題型都可以歸納出常規(guī)的解題方案，學(xué)會(huì)一題，其他相似的題都能通過自主學(xué)習(xí)得到。這種思想對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力有非常重要的意義。

而多題一解在代數(shù)中經(jīng)常使用，例如以下這幾道題型：

題目一：不等式2x m>-3的解集是x>-2，則m的值是____

題目二：如果關(guān)于x的不等式（m 1）x>（1 m）的解集是x<-1，則的取值范圍____

以上二道題目其實(shí)都是屬于帶參數(shù)的不等式或不等式的求解。

這二道題目都是含有參數(shù)的不等式，其中已知解集，要求參數(shù)的范圍。這種題目的常規(guī)做法都是用含參數(shù)的不等式表示未知數(shù)，然后根據(jù)題目給出的解集的形式進(jìn)行解答。這種題目考查兩點(diǎn)，題目給出的解集要和用參數(shù)表示的解集一樣，考慮符號(hào)和數(shù)值兩個(gè)部分，符號(hào)方向要一致，數(shù)值要相同。

通過對(duì)以上兩道題的收集整理，當(dāng)碰到類似的含參數(shù)的不等式求解題型時(shí)即可以快速得找到解題思路，這便是多題一解的意義所在。那么多題一解中學(xué)生和教師的定位又是怎樣的呢？

學(xué)生因?yàn)橹R(shí)儲(chǔ)備有限或者題型儲(chǔ)備有限，很難從相關(guān)題型中總結(jié)特點(diǎn)，找出一套通用的解題思路或者技巧，所以學(xué)生在多題一解中更偏向于題，只有充足的題量儲(chǔ)備，才有可能達(dá)到多題一解的高度，反觀教師這一角色，擁有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通的程度明顯要比學(xué)生強(qiáng)的多，見過的題型也絕對(duì)比學(xué)生豐富，所以教師在多題一解中更重要的是解，以豐富的經(jīng)驗(yàn)和題量儲(chǔ)備，為學(xué)生歸納總結(jié)出某類題型的解題技巧，能夠大大的提升學(xué)生的解題能力，強(qiáng)化學(xué)生的解題思路。

3一題多解與多題一解的對(duì)比

一題多解與多題一解各有優(yōu)點(diǎn)和側(cè)重點(diǎn)，一題多解在于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，多思路解題，讓學(xué)生主動(dòng)養(yǎng)成勤思動(dòng)腦的解題習(xí)慣，教師只扮演激發(fā)興趣的引路人。多題一解在于引領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié)類似題型的解法，側(cè)重點(diǎn)在于提高學(xué)生的解題能力，教師的角色更多是鋪路，以豐富的解題經(jīng)驗(yàn)為學(xué)生提供更多的解題技巧與思路。不管是一題多解還是多題一解都是一種非常高效的學(xué)習(xí)方法，教師應(yīng)該在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中逐漸滲透這兩種思想，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 游荔密.中學(xué)數(shù)學(xué)1的妙用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（05）.

[2] 王平.組織一題多解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維[J].雁北十分學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，17（06）.

[3] 賈鳳梅.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J].教學(xué)理論與實(shí)踐，2009（S1）.endprint