分類討論思想在高中數學教學中的運用

李坤

【摘要】數學思想方法貫穿于整個高中數學，在數學教學和解題方面具有重要作用.其中，分類討論思想方法是學生必須掌握的思想方法，能夠將復雜的問題簡單化、抽象的問題形象化、分而治之，從而達到解決問題的目的.但是，對相關文獻資料的分析和研究，我們發現，數學分類討論思想的相關文獻主要集中于解題方面的研究，在教學方面的研究相對薄弱.因此，對于高中數學而言，分類討論思想在教學方面的運用缺乏一定的理論基礎，教師可以借鑒的經驗十分有限，導致分類討論思想在高中數學教學中的落實不夠到位.

【關鍵詞】分類討論思想；高中數學；教學策略

弗賴登塔爾認為：“對人類思維訓練有重要影響的是數學思想方法而非具體的數學知識.”這就說明數學思想方法對于在數學方面的研究以及學生的數學學習具有重要作用.在高中數學中，數學教學有兩條線，一條是明線，即數學知識的教學；一條是暗線，即數學思想方法的教學.數學思想方法凌駕于數學知識之上，是從具體的數學內容中提煉出來的一種指導思想和普遍適用的方法，是對數學知識、數學規律的本質認識.對于發散學生思維，提高學生數學能力具有核心作用.

分類討論思想因其具有實用的教學價值和高效的解題功能，所以受到了國內外數學教育工作者的共同認可.然而在實際的高中數學課堂教學中，我們發現分類討論思想方法落實的并不是很到位，主要表現為對分類討論思想方法的認知存在障礙、學生不懂得如何分類等等.在課堂教學中，一些教師對于分類討論思想方法不會去詳細講解分類思路，導致學生無法舉一反三.對于分類討論思想方法在我國高中數學教學中存在的很多問題，本文將針對這些問題展開具體的研究，使得這一思想在高中數學中得到充分的運用.

一、分類討論思想

（一）分類討論概念

分類討論既是一種重要的數學思想，同時也是一種邏輯方法.它既存在于數學領域，同時也存在于其他學科及日常生活中.在我國，有許多的數學教育工作者都曾經用分類討論思想解決過數學難題.同時，對于分類討論思想的含義、本質等也提出了不同的觀點.筆者認為高中數學中分類討論指的是：當所研究的數學對象具有引起分類的原因，需要根據對象的本質特征，采用“總—分—總”的研究模式，將問題劃分為若干部分，然后對每一部分進行研究解決，最后將分類所得結果進行整合，從而達到解決問題的目的.

（二）分類討論的原則

分類意識是分類討論思想的核心，如何分類決定了問題后來的解決難度和完整性.張小芳發表的《淺談數學教學應如何進行分類討論》中指出分類討論思想應遵循：（1）不重復原則.所分的各類之間不能有交叉重疊的現象，各類之間應該是互斥的；（2）不遺漏原則.分類過程必須確保每一個對象都有歸屬，做到完整無遺漏；（3）同標準原則.每一層采用的分類標準必須是統一的.

二、高中數學教學中運用分類討論思想的教學案例

高中數學中有許多的定理、公式、法則、習題等都需要運用分類討論思想，可以說，分類討論思想貫穿于高中數學教材的各個章節，沒有統一論述.學生在學習過程中，教師應不斷強化學生分類討論意識，讓學生認識到很多問題只有經過分類討論后，所得到的結論才是正確的、完整的.并且強調通過分類討論，可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化.

本文以高中數學“分段函數”內容為例，研究分類討論思想在高中數學教學中如何得到合理的運用以及如何高效地解決相關的數學問題.在這之前，已經有許多數學教師在教學中進行了卓有成效的教學實踐，我將借助于一些現有的實踐資料，結合個人的觀點和體會，進行探究和分析.

分段函數教學案例

1.創設情境，引入新課

引例：某市出租車計價標準：5 km以內8元（包含5 km），超過5 km且不超過15 km的部分1.5元/km，超過15 km的部分2元/km，問：

（1）某人乘車行駛了9 km，他需要支付多少車費？

（2）建立車費與行車里程之間的函數關系式.

（3）如果某人付費35元，他乘車乘了多少km？

[設計意圖]從學生感興趣的日常生活實際問題出發創設情境，激發學生求知欲，帶領學生進入分段函數的研究.在這一過程中，建立解析式是教學難點，需要教師仔細為學生分析知識的發生、發展和形成過程.

2.實踐研究，形成概念

（1）作出函數y=3x+2，x∈R的圖像；

（2）作出函數y=3x+2，x∈（2，+∞）的圖像.

歸納：

① 定義：在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數叫作分段函數.

② 對應關系：對分段函數來說，在不同自變量的取值范圍內其對應關系不同，但分段函數是一個函數.

③ 定義域：分段函數定義域為各段定義域的并集.

④ 值域：分段函數值域為各段函數值的并集.

[設計意圖]根據圖像建立分段函數的概念，使學生明確分段函數存在的實際意義.通過對分段函數概念的分析，讓學生體會到分類討論思想在解決分段函數問題中發揮著重要作用.

3.實際應用，深化概念

例已知函數f（x）=x2，x>0，0，x=0，x，x<0.

（1）畫出函數的圖像；

（2）根據已知條件分別求f（1），f（-2），f[f（-2）]，f{f[f（-2）]}的值.

變式已知函數f（x）=x，x≤0，x2-4x，04.

（1）畫出函數的圖像；

（2）求f{f[f（6）]}的值.

[設計意圖]分段函數的對應關系是借助于幾個不同的表達式來表示的，處理分段函數的問題時，運用分類討論思想，首先要確定自變量的數值屬于哪一個區間，從而確定相應的對應關系.對于分段函數，各個分段的“端點”是學生容易犯錯的地方.

4.課堂小結，總結回顧

（1）充分理解分段函數的概念以及解析表示形式；

（2）仔細思考在處理分段函數問題中所運用的數學思想方法.

（3）加強對分段函數本質的認識：

① 理解：對于定義，要理解其內涵和外延，抓住概念的本質特征，學會運用概念解決問題；

② 明確：對于一個分段函數而言，對應法則由幾個解析式來表示；函數的圖像既可以是平滑的曲線，也可以是一些點或線段；

③ 注意：分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

[設計意圖]總結回顧可以教會學生養成勤于思考，善于合作的學習習慣，同時可以發散學生思維，構建完整的數學知識框架.

5.課后作業，反饋成效

必做題：教材習題P24第7題，P25第1題.

[設計意圖]讓學生能夠熟練運用分類討論思想解決分段函數問題，對新知識、方法有一個了解和運用的過程.

三、分類討論思想在高中數學教學中存在的問題及解決策略

（一）分類討論思想在高中數學教學中存在的問題

1.教師方面的原因

（1）對數學思想方法的認知不夠透徹，無法把握其本質.

目前存在很多數學教師專業性不強，對數學思想方法的認知存在缺陷等問題.以至于無法運用數學思想方法進行教學.而對于分類討論這一思想，有些教師只是更多的關注在解題方面的作用，而對于在教學方面的運用認識不夠全面，這也是新教師和老教師的區別.新教師過分偏重解題方法和技巧，老教師則善于將數學思想方法融入課堂教學內.

（2）對數學思想方法的重視程度不夠，片面注重知識傳授.

“傳道”“授業”“解惑”作為傳統數學思想在長期的教學實踐中已經根深蒂固，以至于一些教師尤其是新教師在教學過程中只注重數學知識的教學，導致學生在能完全記憶書本的定義、性質、公理、定理、公式以后，仍然對綜合性較強的題目無從下手，找不到突破口.學生不會分析題干信息，對解答出來的題目也不會去反思是如何做出來的，是用什么數學思想方法處理的.所以，很多學生搞“題海戰術”，但是仍然對許多做過的題目再見到時感到陌生，這就是教師在教學過程中忽略數學思想方法的后果.所以說，對教學而言，打造高效課堂的關鍵往往是新在其思路，精在其思想，而不能只注重知識的傳授.

2.學生方面的原因.

（1）遇到具體問題不知該如何分類.

分類討論的關鍵在于分類，分類是否合理決定了問題解決的正確性和完整性.而如何分類需要學生根據具體問題做出相應的判斷.許多學生在遇到分類討論題目時，思維就出現混亂，導致分類不合理.

（2）忽略分類討論的原則.

我們經常會發現，有些學生在做分類討論題目時，所得出的結果與正確結果非常相近，產生這些問題，究其原因是因為在討論過程中，忽略分類討論的原則，沒有深入挖掘其中的關鍵點、易錯點.

（二）針對分類討論思想在教學中出現的問題提出解決策略

1.教師應全面了解數學思想方法

數學思想方法包括分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想等等，每一種思想都有其各自的特點和作用，教師需要對各種數學思想方法有一個全面的了解，抓住其本質，挖掘其內涵，掌握其用法，從而提升自己運用思想方法教學的能力.

2.教師要認識到數學思想方法教學的重要性

數學思想方法是數學的精髓，是以數學知識為載體的邏輯方法.在教學過程中，教師只講概念、定理、公式、性質而不注重運用數學思想，將不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，其水平也只是停留在一個初級階段，并且學生在這一學習過程中只接收到表層知識，而沒有對數學思想方法這一深層知識有所感悟，無法使思維產生質的飛躍，導致學生的成績一直無法拔尖.

3.教師要善于在學習過程中滲透數學思想

許多教師在教學中都體會到，實踐解題能使學生得到有效提升.因此，滲透數學思想方法最主要的途徑是在解決數學問題的過程中.這就要求教師在用分類討論思想方法教學時，要選擇合適的教學時機，巧妙地設計一些數學問題引導學生探究，多為學生提供一些解答問題的機會，教會他們總結和反思解決問題的方法和策略，從而不斷提高自身運用分類討論思想解決問題的能力，領會數學思想的內涵.

4.教師要引導學生如何運用好分類討論思想

對于許多數學問題，學生盡管知道需要用分類討論思想解決，但是并不清楚分類的原因以及分類過程中容易出錯的地方，這就要求我們的教師細心地引導學生弄清楚分類的原因，如何合理的分類，分類是否全面以及在討論過程中應注意的問題等.

四、結束語

分類討論思想是非常重要的數學思想，全面掌握和運用分類討論思想可以使復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.有助于學生獲取知識，養成良好的歸納整理的習慣，處理問題具有條理性.同時對于訓練學生思維，培養學生的數學素養也有很大幫助.希望本文的解決策略能夠引起教師們的關注，繼而達到預期的教學效果.

【參考文獻】

[1]張向良.數學思想方法與高中數學教學[D].大連：遼寧師范大學，2012.

[2]張小芳.淺談數學教學應如何進行分類討論[J].成功（教育版），2010（2）：114-115.endprint