講類同，講區別

趙曉輝 楊廣武

【摘要】本文試圖用辯證唯物論觀點分析復變函數論的發生和發展以及復變函數與實變實函數的關聯和區別.

【關鍵詞】實變實函數；復變函數；類同；區別

【基金項目】河北省教委基金資助項目（2350044）.

復變函數論是數學分析的后繼課之一（本文所指為單復變函數論，下同）.在教與學中，如何認識和處理二者之間的關系，我們也想談一點意見.

我們一直堅持主張，要用辯證唯物主義和歷史唯物主義的世界觀來認識數學學科.復變函數的發生和發展，也是符合辯證唯物主義的認知論的，它是因科學和實際應用的需要而有一個發生和發展的過程的，而且至今還在繼續發展著.

第一次提到“虛數”，把它作為負數的平方根，還是16世紀的事.直到18世紀中葉，復數僅僅是偶然出現在個別數學家的著作里.第一篇復數理論的論文是歐拉（Euler）用俄文發表的，符號i=-1也是歐拉在研究流體力學中首創使用的.高斯（Gauss）把復數定義為有序的實數對，并把復整數定義為a+ib，其中a，b為普通整數.歐拉是復變函數的一個締造人，他詳細地研究了復變函數的初等函數（如，對數函數、指數函數、三角函數和反三角函數），著名的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，把指數函數與三角函數聯系了起來，并得到了令人叫絕的關系式eπi+1=0（把e，π，i，0，1放在一個等式中）.歐拉把復變函數應用到流體力學及地圖制圖學等實際問題中.任何一門學科，如果無用，它就不可能長期存在和發展.20世紀中葉，關于復變函數及其拓展在彈性理論和空氣動力學等領域的廣泛應用，均已成書.20世紀80年代，錢學森在一封信中明確談到復變函數的重要應用性（發表在中國數學會主辦的《數學通訊》中）.著名數學家G·波里亞與G·拉達合作所著《復變函數》一書中，多處極力講述應用性內容.

一、形式類同，但有區別

設z=x+iy，w=u+iv，復變函數w=f（z）定義在形式上與一元實變實函數y=f（x）相同，但這里討論的是復變函數，一般涉及四個實變量x，y，u，v.y=f（x）的圖形是xOy坐標平面上的一條曲線，而w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）就不能在通常具有直觀性的一個平面上作圖，所以常說w=f（z）構成一個從z平面的一部分（定義域）到w平面的一部分（函數值域）的映射（映照）.

關于極限 limn→∞zn=z0及 limz→z0f（z0）=A，形式上也與一元實變實函數情形類同，而實際上它們的關系是

limn→∞zn=z0→←limn→∞Re（zn）=Re（z0），limn→∞Im（zn）=Im（z0）；

limz→z0f（z）=A→←lim（x，y）→（x0，y0）Ref（z）=Re（A），lim（x，y）→（x0，y0）Imf（z）=Im（A）.

即研究一個復數序列的極限問題，相當于對應地研究兩個實數序列的極限問題.關于f（z）在點z0=x0+iy0處連續，即 limz→z0f（z）=f（z0），也相當于對應地研究兩個二元實變實函數在點（x0，y0）處連續問題.由在復數域內關于正弦函數、余弦函數、指數函數及對數函數的定義可知，正（余）弦函數不再是有界的，而指數函數為周期函數，還有對數函數的多值性，此處不再贅述.

關于數域的擴張，講到復數域時特別強調它是“良序集”（即復數不比大小）.所以，在復變函數的極限中沒有“夾逼準則”，沒有“單有界”定理，也沒有左右極限概念.在導數及微分之后，沒有“微分學中值定理”，沒有以微分學中值定理為基礎證明的“洛必達法則”，沒有函數單調性的概念，沒有函數的最大值和最小值，只有最大模原理.

二、類比化歸，關注精彩

18世紀數學界的中心人物，占統治地位的理論物理學家，并能與牛頓、高斯齊名的人是歐拉，他所發現的復變函數里的那些結果和方法，被利用、發展、改進和系統化.19世紀復變函數已成為數學學科的一個最重要的分支.做出貢獻的主要代表人物是柯西（Cauchy）、魏爾斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼（Riemann），前兩人的主要工作在積分和級數，黎曼的工作是復變函數的幾何理論（現代人稱為“共形映射”）.

函數w=f（z）在點z0=x0+iy0可導的定義為 limz→z0f（z）-f（z0）z-z0或 limΔz→0f（z0+Δz）-f（z0）Δz存在.這個定義在形式上也與一元實變實函數的導數定義類同，而實際上則不相同，那里只有Δx>0而趨于0，即Δx→0+和Δx<0而趨于0，即Δx→0-，從而有左右導數，而這里z→z0（或Δz→0）是要沿任何途徑，不止兩個方向.我們知道研究w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）相當于研究一對二元實變實函數，而在二元實變實函數中沒有可導概念，只有偏導數和全微分，正是由于這種聯系，得到了復變函數在一點處可導的所謂C-R條件（C-R方程是Caucky-Riemann方程的簡稱）.C-R條件是u（x，y）及v（x，y）在點（x0，y0）可微，且滿足C-R方程ux=vy，uy=-vx.f（z）在一點z0可導，也叫在z0單演；而f（z）在點z0解析，則要求存在z0的一個鄰域N（z0），f（z）在N（z0）內每一點都可導.如果f（z）在區域D內每一點都可導，則稱f（z）在D內解析.因為以后可以證明解析函數f（z）的導函數f′（z）也是解析的.因此，f′（z）=ux+ivx=vy-iuy是連續的，從而u（x，y），v（x，y）均有一階連續的偏導數，則它們均可微.所以，在前述的C-R條件中可以寫為u（x，y），v（x，y）在點（x0，y0）處有一階連續偏導數，且滿足C-R方程.f（z）=u+iv在區域D內解析的充要條件可敘述為，u，v在D內有一階連續的偏導函數，且滿足C-R方程.關于C-R條件，蘇聯數學家們研究指出，在柯西、黎曼之前，達朗倍爾和歐拉在研究流體力學和復變函數的積分問題時，早已經得到了這個條件.所以，他們稱之為達朗倍爾-歐拉條件.在一元實函數中構造一個處處連續、處處不可導的函數是很費力、很困難的，而在復變函數中f（z）=Re（z），f（z）=z均處處連續、處處不可導.此處我們不再敘述關于解析函數的其他等價條件.endprint

再如，復變函數積分的定義：

∫Cf（z）dz=limmax|zk+1-zk|→0∑nk=0f（zk）（zk+1-zk）.

其中，C為一定向的可度長曲線.形式上也與一元實變實函數的定積分定義相像；而實際上這里C是復平面上一條定向可度長曲線，而不是實數軸上的一個區間，zk+1-zk=Δzk也不是實數軸上小區間的長度Δxk；函數值f（zk）一般也不保證是實值.當然，還可以與實變實函數中的曲線積分相比較和聯系，在非數學專業用的一些教科書中，也就是用組合型對坐標的曲線積分的有關結論來證明復變函數理論的基本定理的（柯西積分定理）.

復變函數論中心是研究解析函數，有的就將書名寫為《解析函數論》，而柯西積分定理被視為理論基礎.由此得到的柯西公式也是極為重要的，在復變函數的課程中還要介紹一下柯西型積分.所證明的一個在區域D內解析的函數f（z），有各階導數，這種驚人新鮮的結論，在一元實變實函數中是沒有的.

關于解析函數的級數展開，也是借助于柯西公式完成的.在羅朗級數的基礎上，討論了函數f（z）在孤立奇點處的性態.有一個索霍茨基定理（人們常說的魏爾斯特拉斯定理）說：如果a是函數f（z）的一個本性奇點，則對于任何一個有限的復數A或∞，總存在一個點列zn→a，使得 limn→∞f（zn）=A.這是多么新鮮奇特的結果呀！

在復變函數中，黎曼的重要貢獻是復變函數的幾何理論，我國數學界老前輩陳建功先生曾翻譯過一個大本專著《復變函數的幾何理論》（現在通常說成共形映射）.共形映射的基本問題是給定兩個區域D和G，是否存在一個單葉解析函數把D共形映射為G，這個事實稱為黎曼存在定理.著名數學家莊圻泰先生，把他20世紀50年代在北京大學專門化課程中的講稿再簡練，寫在教科書中.正是依據黎曼存在定理，我們才可以常常把復雜區域內的問題歸結為在單位圓內或圓界多連通區域內來討論.

由于科學和實際應用的需要，進入20世紀復變函數論得到了巨大的發展.蘇聯數學家們側重于在彈性力學等方面的應用，И·Н·Вeкуa院士，С·Γ·Мусхелищвили院士以及Ф·Д·ГaxoΒ等都先后出版了專著，美國L·Bers院士從研究空氣動力學問題，也出版了專著[3].尤其應該特別提到的，是我國在這個研究方向上已經形成了一個隊伍，趕超世界先進水平，并于20世紀80年代末舉辦了第一次該方向的全國學術會，至今已舉辦了十七次，并多次主辦國際學術會，在偏微分方程的復分析方法、擬共形映射及Clifford分析等方面的研究，都取得了可喜的成果.例如，在偏微分方程的復分析方法方面（也叫函數論方法），И·Н·Вeкуa及L·Bers大都是討論線性、擬線性橢圓型方程，而我們不但研究了非線性橢圓型方程，而且還用復分析方法討論了拋物型和雙曲型偏微分方程的有關問題.當然，偏微分方程的復分析方法，至今仍是國際數學界的一個熱門話題，還在繼續發展著.

【參考文獻】

[1]И·Н·Вeкуa.廣義解析函數[M].中國科學院數學研究所偏微分方程，北京大學數學力學系函數論教研組，合譯.北京：人民教育出版社，1960.

[2]L·Bers.準解析函數論[M].聞國椿，譯.北京：科學出版社，1964.

[3]G·波里亞，G·拉達.復變函數[M].路見可，等譯.北京：高等教育出版社，1985.

[4]М·А·拉甫倫捷夫，В·А沙巴特.復變函數論方法[M].施祥林，等譯.北京：高等教育出版社，1956.endprint