復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的體會(huì)

肖莉　陳榮三　張林麗

【摘要】復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科學(xué)生必修的一門非常重要的基礎(chǔ)課程，本文主要討論了這門課程教學(xué)中的問題，提出了提高這門課程的教學(xué)效果的一些方法.

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；積分變換；高等數(shù)學(xué)

復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣與發(fā)展，復(fù)變函數(shù)的理論與方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決流體力學(xué)、熱學(xué)等中的平面問題的有力工具.而積分變換是數(shù)學(xué)中將復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單運(yùn)算的有效變換手段，它的理論與方法不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在其他自然科學(xué)中均有著廣泛的應(yīng)用，它已成為不可缺少的運(yùn)算工具.正是由于復(fù)變函數(shù)與積分變換理論與方法的重要性，因此這門課程是許多工科專業(yè)如自控等專業(yè)必修的數(shù)學(xué)課程，學(xué)好這門課程可以為工科學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程如“數(shù)學(xué)物理方程”等打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

但是學(xué)生對(duì)這門課程的了解不夠，所以對(duì)它的認(rèn)識(shí)存在一些誤區(qū)：學(xué)生認(rèn)為這門課程的實(shí)用性不強(qiáng)，很難想象它在現(xiàn)實(shí)生活與實(shí)踐中的應(yīng)用價(jià)值.同時(shí)由于學(xué)習(xí)過(guò)程中復(fù)變函數(shù)需要理解記憶的概念與定義很多，所以學(xué)生普遍感覺理論性偏強(qiáng)；積分變換接觸一些抽象枯燥的變換公式，這更加讓學(xué)生認(rèn)為這是一門純理論沒有實(shí)用性的課程因而失去學(xué)習(xí)它的興趣.在復(fù)變函數(shù)中很多概念是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域的推廣，因此很多學(xué)生只看到了復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的相同之處沒有看到它們之間的區(qū)別，覺得這門課程是高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的重復(fù)學(xué)習(xí)，認(rèn)為學(xué)習(xí)這門課程既浪費(fèi)時(shí)間又沒有什么意思.另外由于課程的學(xué)時(shí)設(shè)置與后續(xù)專業(yè)課設(shè)置等原因都對(duì)這門課的教學(xué)效果產(chǎn)生了影響，比如學(xué)時(shí)太少教學(xué)內(nèi)容很難展開，后續(xù)相關(guān)課程與這門課學(xué)習(xí)時(shí)間間隔較長(zhǎng)，學(xué)生已經(jīng)遺忘所學(xué)內(nèi)容對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)沒有起到很好的幫助作用.

鑒于此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，如何幫助學(xué)生尋找合適的“竅門”，降低學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生學(xué)好“復(fù)變函數(shù)與積分變換”非常重要.我認(rèn)為為了取得較好的教學(xué)效果可以從以下幾個(gè)方面做：

首先應(yīng)該讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)這門課的重要性，特別是對(duì)后續(xù)課程學(xué)習(xí)的影響.因此針對(duì)不同的專業(yè)要首先了解該專業(yè)的課程，具體地指出學(xué)習(xí)這門課程對(duì)后續(xù)專業(yè)中的哪些課程的哪些內(nèi)容會(huì)有幫助.比如“復(fù)變函數(shù)與積分變換”的內(nèi)容與“工程力學(xué)”“電工技術(shù)”等課程的聯(lián)系十分密切，我們就可以在這些課程中找出相關(guān)的例子給學(xué)生，讓他們知道學(xué)習(xí)這門課的必要性和重要性.如我們可以具體給學(xué)生指出Laurent級(jí)數(shù)可以應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理中，利用Laurent級(jí)數(shù)直接寫出離散數(shù)字信號(hào)的Z變換；又如Laplace變換可以幫助我們求電流，因?yàn)榇?lián)電路上電壓、電阻、電流、電感、電容就滿足一個(gè)微積分方程，要求串聯(lián)電路的電流問題也就變成了求解微積分方程的問題，而拉斯變換正是求微積分方程的有力工具.所以在課時(shí)允許的條件下我們應(yīng)該盡可能舉出一些實(shí)際的例子，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)這門課程的重要性，也增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣.

其次，我們一定要讓學(xué)生知道復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)之間的關(guān)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換和高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系是很緊密的，復(fù)變函數(shù)中的許多理論、概念和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域的推廣，但也要明白它與實(shí)變函數(shù)的許多不同之處.在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要注意它的相同與不同，只有這樣才能學(xué)好這門課程.在講課過(guò)程中要強(qiáng)調(diào)不同之處，提醒學(xué)生要特別注意這些不同的地方，比如指數(shù)函數(shù)在復(fù)變函數(shù)里面具有了周期性、負(fù)數(shù)可以求對(duì)數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)不再有界等等，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)完高數(shù)后再來(lái)學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)很容易將原來(lái)已經(jīng)學(xué)到的知識(shí)平移到復(fù)數(shù)域而犯一些不該犯的錯(cuò)誤.當(dāng)然在講課中也應(yīng)該指出相同的地方，如在復(fù)數(shù)域我們也有洛比塔法則、一些初等解析函數(shù)的泰勒展開式與實(shí)函數(shù)的結(jié)果類似、求導(dǎo)法則不變等，指出這些可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，因?yàn)樵诟叩葦?shù)學(xué)的基礎(chǔ)上這些相同或類似結(jié)論的記憶變得十分簡(jiǎn)單，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率是有幫助的.然而最重要的是要讓學(xué)生了解怎樣用學(xué)過(guò)的高數(shù)的知識(shí)學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，又如何用復(fù)變函數(shù)的知識(shí)解決高數(shù)里面的問題.這樣可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中做到既學(xué)習(xí)了新知識(shí)又鞏固了舊知識(shí).因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該經(jīng)常提醒學(xué)生注意復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系.復(fù)變函數(shù)實(shí)際上相當(dāng)于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)，因此在復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常要用到與二元函數(shù)有關(guān)的知識(shí)與解題方法，比如當(dāng)要證明復(fù)變函數(shù)不連續(xù)時(shí)，實(shí)際上就變成了證明兩個(gè)二元函數(shù)不連續(xù)，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)虛部與實(shí)部所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)二元函數(shù)連續(xù)；又比如討論復(fù)級(jí)數(shù)的斂散性其實(shí)就是討論對(duì)應(yīng)的兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，因?yàn)閺?fù)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)虛部與實(shí)部所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)收斂，這樣的例子在復(fù)變函數(shù)里面很多，從這些例子看出高數(shù)的知識(shí)對(duì)于解決復(fù)變函數(shù)的問題是很有用的.同時(shí)也應(yīng)該看到不僅如此，復(fù)變函數(shù)里的知識(shí)也可以幫助解決高數(shù)的問題，如在高數(shù)里面一些不能求解的積分，可以將它們轉(zhuǎn)化為復(fù)積分，再利用復(fù)變函數(shù)里面留數(shù)定理求出實(shí)積分，這也是復(fù)變函數(shù)里面留數(shù)這一章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)即留數(shù)的應(yīng)用.至于積分變換與高數(shù)的聯(lián)系也是十分緊密的，在引入傅立葉變換時(shí)會(huì)講到傅立葉積分，而傅立葉積分的推導(dǎo)是從傅立葉級(jí)數(shù)開始的，這是大家在高數(shù)里面學(xué)習(xí)過(guò)的重要內(nèi)容.總之在學(xué)習(xí)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”的過(guò)程中一定要和學(xué)生強(qiáng)調(diào)這門課程與高數(shù)的關(guān)系，應(yīng)該提醒學(xué)生注意相關(guān)概念之間的異同，只有這樣才能讓學(xué)生很好地將這它們聯(lián)系起來(lái)，達(dá)到最佳的學(xué)習(xí)效果.

以上就是我自己多年講授“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門課程中的一些體會(huì)和感受，希望能和大家分享，也希望“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門十分重要的課程能夠讓學(xué)生喜歡它并學(xué)好它.

【參考文獻(xiàn)】

[1]東南大學(xué)數(shù)學(xué)系.積分變換[M].北京：高等教育出版社，2008.