淺談復變函數中積分的計算方法

焦晶晶

【摘要】掌握復積分的計算方法對于學好復變函數至關重要.本文主要探究了復變函數的計算方法.盡管它的計算方法過程已有發表，但在此重述的目標只是為了更加系統，更便于計算，通過了解這些常見的積分計算方法，把它們進行整理、歸類，并以典型的例題加以說明，可以使我們在計算復變函數積分的過程中更加得心應手.

【關鍵詞】復變函數；積分計算；柯西積分定理；留數定理

一、引言

復變函數以其完美的理論成為數學的一個重要分支，是其他學科解決實際問題的強有力的工具.解析函數是復變函數研究的主要對象.復變函數的積分是研究函數的一個重要工具.復變函數積分的求解問題向來被認為是復變函數教學中重點和難點問題.

復變函數積分常見的幾種計算方法：

①將積分曲線C分成為n小段時，可用定義直接計算復積分（不常用）；

②當f（z）在簡單光滑曲線C上連續時，欲計算積分時常用參數方程法，參數方程是計算復積分的基本方法；

③如果被積函數f（z）在包含積分曲線C的某一單連通域D內處處解析，則可用牛頓-萊布尼茲公式進行計算；

④涉及圍線積分，想到利用Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、留數定理，其中留數定理應用最廣；

⑤高階導數公式可以形式地由反復用Cauchy積分公式求關于參數z0的導數得到，故有時被稱為微分Cauchy積分公式.

本文主要在理論上介紹復積分中Cauchy積分定理及由它派生出的Cauchy公式、留數定理及積分的計算問題.

二、柯西（Cauchy）積分定理

六、結束語

本文利用綜述法、比類法，以有限的篇幅介紹了復變函數積分計算的幾種一般方法，它對數學分析知識的理解和提高，以及應用新知識解決復雜問題的能力，起到拋磚引玉的作用，進而能更加深刻地體會數學這門科學不同于其他學科的魅力.