如何在數學解題教學中培養高中生幾何直觀與想象素養

張濡川++鄭秀

【摘要】《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》頒布后，“核心素養”一詞便成為眾多專家學者熱議的內容.同時如何提高高中生核心素養也成為重點的討論內容.本文針對高中生應具備的六大核心素養中的幾何直觀與想象素養進行探究，提出了在數學解題教學中高中生幾何直觀與想象素養的培養策略，并結合了具體的案例進行說明.

【關鍵詞】數學解題；幾何直觀與想象素養；策略

一、加強學生的用圖意識，在問題表征中更多地運用幾何直觀

通常在數學解題的過程中，很多學生知道自己的解題方法比直觀化解法復雜得多，但是卻很少有學生會進行反思以改進自己的解題方法，總是習慣用原有的解題方法，不厭其煩.學生一旦養成這樣的學習態度和思維習慣，就會很容易使得數學這門學科的學習會越來越枯燥乏味，學生也將會越來越不愛學.因此，教師在數學解題教學中應當盡可能地指導學生直觀地分析問題，培養學生形成直觀分析解題的思路，加強學生在解題過程中的用圖意識，培養學生能夠有意識地將數學試題中的一些代數形式的表征與幾何直觀表征產生聯系，從而培養學生積極主動地運用幾何直觀與想象來解決問題的習慣.

例1在一個平面四邊形ABCD中，其中∠A=∠B=∠D=75°，AB=2，求AD取值范圍.

圖1

分析根據題意可以知道四邊形ABCD中∠C=∠D=75°，以及其中的一條邊AB=2，所以可以畫出△ABM，其中∠A=∠B=75°，AB=2，這樣滿足條件的平行四邊形ABCD可以在△ABM中構造出.作一條直線交線段MA，MB分別于D，C兩點，使得∠ADC=75°，過點B作BN∥CD交AM于N.接下來觀察圖形，要使所得到的四邊形ABCD滿足題意，通過平移直線可知點D只能在線段MN上取得有效值.所以容易得到AN=6-2，AM=6+2，所以AD的取值范圍為（6-2，6+2）.

二、經常進行畫法交流，研究構造有利于問題分析的最佳圖形

幾何直觀想象的基礎是圖形，把問題直觀化地呈現出來不僅有利于學生對數學問題的推理與把握，也將會更有利于對代數方式的解答過程進行審視.但是如果我們所得到的直觀化圖形不利于數學題的直觀分析，或者是在直觀化過程中存在問題，那么這樣的幾何直觀就會很難發揮出它真正的作用，或者說是這樣的幾何直觀是無意義的.那么如何在幾何直觀與想象的前提下，構造出有利于分析和理解的最佳圖形呢？

首先，要選擇正確的圖形視角.只有在正確的圖形視角下才能將一些復雜的數學試題恰當的表示出來.不同的視角構造出來的圖形對問題的直觀想象分析會有不同的影響，特別是在解題效率方面.

其次，圖形的構造要準確.一定要根據問題給出的代數形式畫出與其相等價的圖形.在借助幾何直觀與想象來解決問題的過程當中，學生很容易出現對問題理解不透徹從而導致幾何直觀不恰當的情況.因此，在進行構造圖形前一定要引導學生透徹分析和理解題目，畫出與題目要求等價的直觀圖形.同時在畫圖時要確保圖形的精確性，圖形繪制要根據試題的要求明確圖形所需的精確性.

例2證明：所有的三角形都是等腰三角形.

圖2

分析如圖2所示，△ABC是一個任意的三角形，AB的中垂線與∠C的平分線相交于一點O，然后過點O作OD⊥AC于點D，OE⊥BC于點E，連接OA，OB.則可以由∠OCA=∠OCB，∠ODC=∠OEC=90°，OC=OC，得出△OCD≌△OCE，即得出，CD=CE，OD=OE.又因為OF為AB的中垂線，所以OA=OB，可以得到Rt△AOD≌Rt△BOE，則得出DA=EB，即得出所有的三角形都是等腰三角形.

這道題的整個證明過程找不出任何的漏洞，但是證明得到的結果很明顯是不正確的.其實原因就出在點O上，點O應該在△ABC之外.通常學生們并不知道，若角平分線CG交AB于點G，會有CGGB=CACB這個性質，所以不知道O點應該在△ABC外.但是如果作圖時更準確一些，就會發現O點應該畫在△ABC外面了.

三、提高學生的識圖能力，引導學生善用運動變換來探索解題思路

運用幾何直觀與想象來解決一些數學問題，不僅要求學生要能根據題意準確的畫出解題所需的圖形，還要求學生對構造出的圖形有一定的直觀洞察力.學生要能根據圖形中提供的已知信息探索出解題的思路.

提高學生的識圖能力，首先培養學生養成良好的觀察圖形的習慣；其次不僅要善于獲取圖形中所提供的的重要信息，還要能挖掘出一些隱含的條件；最后就是要培養學生靈活地運用圖形的運動和變換對圖形進行完善.將復雜的試題轉化為簡單的試題.

四、重視數學問題語言的直觀描述，實現多元化評價

數學知識不僅需要通過圖形和符號來進行直觀的表示，還需要通過文字語言進行詳細表達.因此，幾何直觀與想象要與文字語言、符號語言有機結合.要達到這一目標，首先要養成用文字語言來交流探討解題思路的習慣；其次要能夠準確簡潔的運用文字語言.

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