運用幾何畫板 優化高中數學教學

于海青

摘 要 幾何畫板是輔助數學教學的工具，在高中數學教學中利用幾何畫板，有利于展示數量、圖形的變化過程和理解概念的生成過程，有利于培養學生的發散思維、創新思維，突破教學重難點，優化高中數學教學方式。以雙曲線及其標準方程為例，闡述幾何畫板在高中數學課堂教學中的應用價值，提出幾何畫板優化高中數學教學的策略，并以日常生活和生產運輸應用較多的雙曲線性質為例進行探究。

關鍵詞 幾何畫板；高中數學；雙曲線；標準方程；多媒體

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）13-0025-03

1 前言

隨著現代信息技術的發展，多媒體技術應用于數學課堂教學成為一種必然趨勢。而作為多媒體技術的重要組成部分，幾何畫板憑借強大的圖形界面功能和簡單的操作，成為輔助數學教學的有效軟件，彌補了傳統教學中直觀感、立體感和動態感不足等問題。因此，在高中數學教學中，充分發揮幾何畫板的教學價值，運用幾何畫板優化高中數學教學，具有重要意義。

2 幾何畫板在高中數學課堂教學中的應用價值

所謂幾何畫板，是由美國Key Curriculum Press公司制作的，以點、線、圓為基本元素，通過計算、構造、變換、動畫、跟蹤軌跡等方式構造和顯示復雜圖形的一種幾何軟件，常常被應用于輔助教學平面幾何、解析幾何、射影幾何等方面。在高中數學教學中運用幾何畫板，具有三個重要的教學價值。

有利于培養學生的發散思維 借助幾何畫板，學生可以對同一圖像從不同角度觀看其形狀，觀察到圖像變量和定量之間的關系，共同探討得出結論，完善自己的知識結構，有效理解教學中的重難點知識。如在函數圖像做法講解時，利用幾何畫板，可以讓學生在同一坐標系中觀察到y=sinx、

y=sinx2、y=2sinx、y=sin2x等正弦函數所有可能的情況，并組織學生探討從中得出三角函數變化的規律。

有利于展示數量、圖形的變化過程 抽象化、公式化是高中數學知識的基本特點，在高中數學教學中引入幾何畫板后，可以使抽象概念變得簡單，圖像更加生動，數量之間的關系也更易于學生觀察。如在“中心對稱圖形”教學中，利用變換、旋轉等幾何畫板功能，可以讓抽象的中心對稱圖形特征變得更加形象，讓學生清晰地觀看、對比旋轉前后的效果。又如在觀察探究圓心角與圓周角兩者之間的關系時，通過拖動圓周上的某一點，可以讓學生明顯地猜想到兩者之間的關系，并應用幾何畫板中角度測量工具，準確地證明出兩者之間的關系。

有利于動態呈現信息，培養學生的創新思維 創新是社會進步不竭的動力。由于傳統教學中展示的圖像都是靜止孤立的，學生很難直接觀察到隱藏的隱形關系。而幾何畫板的使用，不僅激發了學生學習的興趣，而且通過逼真的演示，可以讓學生有創造性地解決問題，能夠將靜止的線條或圖像變成動感的線條或圖像，有助于學生從感性知識上升為理性知識。如在推導三棱柱體積公式時，利用拉開、重疊等幾何畫板功能，并用不同顏色標注三棱錐，創新得出三棱柱的體積與三個三棱錐的體積相等的結論。

3 運用幾何畫板優化高中數學教學的策略

注重教學方法和步驟 教師應圍繞教學內容，在充分利用幾何畫板進行演示和講解中，要向學生說明教學的目標和教學的重難點內容，要考慮如何演示和講解，才能符合學生的認知規律。如在講解三角函數誘導公式時，應充分考慮需要不需要重復演示，是先動畫還是先拖動，等等。同時，不能完全依賴幾何畫板，要有效結合傳統教學方法，充分發揮出各自的優勢。如在探究正弦定理時，傳統教學測量內角度數和三條邊長長度時存在誤差，并且度量占用較多時間；而利用幾何畫板計算功能后，學生對知識的感受不僅直觀，而且測量結果精準。

注重板書設計 和傳統教學模式一樣，幾何畫板教學亦應注重板書，為了讓學生觀看得更加直觀，理解起來更加容易，在具體教學實踐時應列出相應的圖表，書寫出知識點提綱，特別是在概念講解、探究性質時，一定要呈現板書。如在運用幾何畫板描繪函數圖像時，必須在列表、取值、計算、描點、連線等傳統板書教學后，再運用幾何畫板展示圖像，在激發學生興趣的基礎上熟練掌握教授內容。

與創設問題情境相融合 學生學習的內容越貼近實際生活，學生越容易接受知識。對于幾何畫板教學而言，也應與實際生活聯系起來，依據教學內容，把智力因素和非智力因素結合起來，充分利用幾何畫板創設實際生活情境，拓展學生學習內容，幫助學生養成探索學習的精神。如在組織學生復習導數知識時，筆者利用幾何畫板創設問題情境：已知方程x2-lnx-x=0，要求利用數形結合思想探究出該方程有幾個根。對于該問題，大部分學生都將其轉換為函數g（x）=lnx與函數f（x）=x2-x交點的個數。由于利用傳統描點法，學生很難精準地描繪出函數的圖形，因此，探究的結果也不相一致。此時，筆者組織學生利用幾何畫板準確地畫出函數的圖像，如圖1所示，從而解決學生認知上的困難，幫助學生有效解題。

與搭建探索平臺相融合 由于幾何畫板的動態性和直觀性等特點，幾何畫板教學非常適合于問題探究。在具體探究教學中，教師應充分考慮高中學生的認知特點，精心設計探索問題，將幾何畫板融入進去；特別是在解決重難點知識時，要利用幾何畫板搭建探究平臺，積極組織學生猜想、畫圖驗證和歸納整理。

4 幾何畫板應用案例

為了在教學實踐中探索出幾何畫板在高中數學教學中的有效運用途徑，筆者以日常生活和生產運輸運用較多的雙曲線性質為例進行探究。

雙曲線性質是高中數學圓錐曲線中的重要內容，與橢圓和拋物線的性質密切相關，熟練掌握雙曲線的性質，不僅能夠為參數方程與函數方程有機聯系做好鋪墊，而且能提高學生綜合解題能力。在具體教學中可以通過類比、觀察、討論等數學活動，實現位置關系和數量關系之間的轉變。其教學的重點是掌握雙曲線及其標準方程的定義，難點在于得出a、b、c之間的關系。同時，高中學生已經具備一定的數形結合思想，教學中應以探究分析和直觀觀察為主。

復習引入 組織學生回顧橢圓的定義、標準方程以及幾何性質及應用，利用幾何畫板形象地呈現出圖2所示的橢圓圖像，并探討當平面內一個點到兩定點F1、F2的距離的差都等于常數時，則該點的軌跡圖像是什么？

探究學習 以課前準備好的拉鏈為教具，將拉鏈的一頭截掉部分，然后將不平齊的兩頭固定，再將拉鏈頭逐漸拉開，觀看拉鏈頭所形成的軌跡，將其抽象出雙曲線的符號[|MF1|-|MF2|=2a，（0<2a<2c）]、焦距（|F1F2|）、定點（F1、F2）等，組織學生熟練掌握雙曲線的第一定義。

為了形象展示雙曲線的圖像，利用幾何畫板展示出圖3所示雙曲線圖像，以簡單雙曲線方程為例，介紹實軸、虛軸、焦點、焦距等雙曲線概念及其幾何意義，類比橢圓草圖畫法，猜想雙曲線草圖是否可以借助特殊矩形框進行描繪。當學生探究得出利用矩形框無法確定雙曲線走向時，教師應及時給予幫助和提示，讓學生聯系初中接觸到的雙曲線實例，利用反比例函數圖像，呈現出漸近線的概念，通過圖像大膽猜想出漸近線和矩形框的關系，并在此基礎上揭示出離心率的幾何意義，在幾何畫板中尋找出a、b、c所代表的意義。

深化認知 組織學生進一步思考雙曲線的焦點在y軸上時，它的標準方程如何表示，并設置以下變式題目和探究性題目，不斷幫助學生完善知識結構。

【例1】已知方程，請說明該方程所能描繪的曲線，并自己動手在幾何畫板中描繪。

設計意圖：以參數m的變化帶動曲線類型的多種變

化，既要求學生考慮x、y系數的正負，又要求學生探究數值的大小。

【例2】已知△ABC，其A、B的坐標分別為（-6，0）、（6，0），CA與CB直線斜率之積為，求點C的軌跡。

【例3】除CA與CB直線斜率之積為-外，其他條件同例2，則點C的軌跡是什么？

【例4】除A、B的坐標分別為（0，-6）、（0，6）外，其他條件同例2，則點C的軌跡是什么？

【例5】除CA與CB直線斜率之積為m外，其他條件同例2，則點C的軌跡是什么？

設計意圖：例3、例4、例5是例2的變式，只是改變個別條件，解題方式不變，然而結論發生了變化，同時深化了數形結合、分類討論、函數與方程等重要數學思想，有助于學生進一步完善知識結構。

小結新知 以探究雙曲線與橢圓之間的相同點和不同點為主題，組織學生從定義、標準方程、焦點等方面進行總結，并要求學生自己動手在幾何畫板中描繪出以下軌跡：

1）F1（-6，0），F2（6，0），|PF1|-|PF2|=5；

2）F1（-6，0），F2（6，0），||PF1|-|PF2||=5。

5 結語

綜上所述，幾何畫板是輔助數學教學的工具，在高中數學教學中利用幾何畫板，有利于展示數量、圖形的變化過程和理解概念的生成過程，培養學生的發散思維、創新思維，突破教學重難點，優化教學方式。同時，學生可以利用幾何畫板動手操作，從而更深刻地理解圖像、理解數學。

參考文獻

[1]黃金波.幾何畫板在高中數學實驗教學中的應用[J].西部素質教育，2015（1）：75-76.

[2]梁維高.高中數學教學中運用《幾何畫板》的實踐與思考[J].中國教育信息化，2010（12）：57-58.

[3]劉虹.幾何畫板在高中數學教學中的應用[J].中國現代教育裝備，2010（8）：54-57.

[4]康圣玲.高中數學教學中幾何畫板運用分析[J].中國校外教育，2015（9）：121.

[5]韓增紅.幾何畫板在高中數學教學中的應用研究[J].學周刊，2016（12）：138-139.