知識的分類與高中數學核心素養的培養

王曉紅

[摘 要] 核心素養對學科教學的引領作用是防止經驗化，基于學習最基本的特征即知識構建去理解核心素養，可以尋找到堅實根基. 認知心理學將知識分成陳述性知識與程序性知識，在高中數學中以此知識分類的結果來培養學生的核心素養，可以基于數學教學傳統而更好地理解核心素養. 通過理論分析可以發現知識分類與數學核心素養及其培養的關系，教學實踐表明核心素養也可以促進學生更好地構建數學知識.

[關鍵詞] 高中數學；知識分類；核心素養

當討論學科核心素養及其培養的時候，最容易出現的問題就是對其進行經驗解讀. 盡管我們認為任何一個新生事物或概念的理解與推進都離不開經驗，但課程改革以及區域層面的教學改革已經告訴我們一個事實：如果對新的概念完全進行經驗層面的理解，那其操作是極有可能走樣的，譬如對“探究”的理解，有多少課堂只不過是以探究之名而行灌輸之實？

數學學科無疑是高中文化教學中重要的基礎學科，當從“必備品格”與“關鍵能力”的視角下看高中數學學科的核心素養時，更需要關注的是必備品格與關鍵能力如何養成. 這是一線教師的自然意識，同時憑經驗又往往難以直接獲得問題解決的答案：說其是自然意識，是因為一線教師浸淫于教學實踐，已經形成了一種固定的認知，那就是教育理念的落實一定是依賴于具體的學習過程的，就數學學習而言就是依賴于數學知識的生成過程的；說其憑經驗難以直接獲得，是因為新的理念的理解與已有經驗之間總存在著需要銜接的地方，這個銜接點如果不當，那新理念就難以落實. 于是，尋找數學學科核心素養的培養與高中數學知識的生成過程的聯系點，就成為核心素養培養的一個基礎性研究內容. 筆者梳理了自己的實踐經驗，研究了對學生的學習具有指導意義的相關認知心理學的內容，感覺從最基本的知識分類角度來研究核心素養的培養，可能是一個恰當的切入點.

[?] 知識的分類及其對數學核心素養的啟發

無論以什么樣的理論來引導數學教學，可以肯定的一點是，教師所面臨的最基本的教學任務還是幫學生建構數學知識，這是無法回避的一個事實. 但在不同的理念之下，同樣的建構數學知識的過程對于學生的學習來說，可能是不同的學習過程，這個過程表面看決定于教師的教學方式，實際上取決于教學理念的影響.

認知心理學將知識分為陳述性知識與程序性知識. 陳述性知識就是“個人具有有意識的提取線索，因而能夠直接陳述知識”；程序性知識是“沒有意識提取線索，需要借助于某種形式間接推論其存在的知識”. 說得通俗一點，陳述性知識是“是什么”的知識，而程序性知識是“怎么辦”的知識. 比如說，“拋物線是平面內到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點的軌跡”，這是陳述性知識；而“要證明平面內某點的軌跡是拋物線，就必須證明該點到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等”，這就是程序性知識. 由此可見，陳述性知識是判斷性的，“是”是其中的一個關鍵字；而程序性知識是存在邏輯關系的，“如果……那么……”是其重要表征方式.

再來看數學核心素養，當前對數學核心素養的認知常常是從數學抽象、數學推理、數學建模、幾何直觀、數學運算、數學分析等六個方面來理解的. 從概念來看，這六個方面與數學關系密切，同時也有濃郁的“能力”味道，因此以之來解釋數學素養是合適的. 但在筆者看來，如果仔細分析這六個因素又可以發現其不足——其忽視了學生這一主體的存在. 我們可以說數學抽象、數學推理、數學建模、幾何直觀、數學運算、數學分析等代表著學生的數學素養，但卻無法從中看出這些素養的培養途徑，這顯然容易讓一線教師只知數學核心素養之“然”，而不知數學核心素養之“所以然”，這種不具有操作性的理解往往是一線教師所不喜歡的（請不要指責一線的數學教師總追求“可操作”的東西）.

而這個時候，如果我們將這六個方面與知識的分類聯系起來，那么可以發現其實這六個因素都存在于數學知識生成的過程中；如果我們能夠精細地研究陳述性知識是如何構建的，程序性知識又是如何培養的，那這六個方面就可以自然浮現出來，于是數學核心素養的培養也就成為可能. 因為在此分析中我們注意到，實際上認知心理學視界中的知識與傳統意義上的知識并不完全相同，我們常說的知識實際上只是指陳述性知識，而我們常說的能力其實對應著程序性知識. 而如果將核心素養的形成視作學習結果的話，又可以發現加涅對學習結果的分類，即言語知識、智慧技能以及認知策略與我們的分析又是吻合的：言語知識就是陳述性知識，智慧技能與認知策略就是程序性知識，而上述核心素養的六個方面，基本上就完全存在于智慧技能與認知策略當中. 由于陳述性知識是無法脫離程序性知識而存在的，因此數學核心素養的培養就與兩種知識的形成過程完全重合了.

[?] 利用知識生成過程培養學生的核心素養

基于以上分析，一線教師的數學核心素養理解與具體實施就沒有太多的認知上的障礙了：只要給學生一個有效的知識建構過程，能夠讓學生在掌握好陳述性知識的同時，領會更多的程序性知識，那核心素養就會自然形成了. 下面就以“拋物線”的教學為例，談談筆者的一些理解.

蘇教版拋物線的知識放在圓錐曲線這一章中，教材設計是這樣的：通過生活中一些與拋物線相關的實例如探照燈的內壁、太陽灶的軸截面、衛星天線的接收器和發射器等的介紹，引出拋物線的標準方程與幾何性質的問題，進而展開探究. 從知識生成的角度來看，拋物線這一知識的教學中可以做出這樣的兩點判斷：

其一，陳述性知識包括：拋物線的定義、拋物線的標準方程以及從標準方程、圖形、焦點坐標、準線方程、開口方向等角度對平面直角坐標系上拋物線的幾何性質的理解.

其二，程序性知識包括：基于課堂引入時所舉的實例建立的對拋物線的理解（數學抽象與數學建模）；基于拋物線定義得出拋物線的標準方程（數學推理）；基于拋物線的標準方程得出拋物線的幾何性質（幾何直觀）；運用拋物線標準方程與幾何性質解決數學問題（數學運算與數據分析）等.endprint

在具體的教學過程中，陳述性知識與程序性知識的形成過程可以這樣設計：利用現代教學手段，在向學生呈現探照燈的內壁、太陽灶的軸截面、衛星天線的接收器的時候，從中抽象出拋物線這一模型，讓學生感受到生活實物中數學的存在. 在給出拋物線的定義之后，先讓學生通過自主探究的方式推理拋物線的方程. 事實表明，在學生自主推理的過程中，只要教師適當點撥，學生是可以想到過拋物線的定點F去作定直線l的垂線，以建立直角坐標系的. 而坐標系一旦建立，其后的一個關鍵就是設出定點F到定直線l的距離，進而根據定義中的距離相等列出等式，然后進行開方化解，最終得到拋物線的標準方程為y2=2px（p>0）. 在這個過程中，學生主要運用到的方法就是數學推理（主要是演繹推理），而其后根據已經得到的標準方程去推導另外三種形式，也就是簡單的數學推理的應用了. 需要指出的是，在拋物線幾何性質的探究中，也有豐富的推理過程，只要學生真正弄懂了y2=2px的四個性質，其后的三種就可以迅速推理出，這意味著學生的思維中不需要樹立形象的表象就可以完成拋物線幾何性質的知識體系的建立——這是一個以程序性知識推動陳述性知識形成的過程.

在這一學習過程中，如果注意分析學生的學習心理，就可以發現學生的思維主要是圍繞拋物線的定義、標準方程、幾何性質等若干個陳述性知識的形成過程來進行的，而這正是數學教學的基礎. 此過程中又必然會用到程序性的知識，因此這些程序性的知識有的因為再次運用而變得嫻熟，有的因為在具體情境下被激活，因而學生拓展了對這些程序性知識的應用環境的認識，真正的核心素養的培養，也就在此過程當中.

[?] 用核心素養來反哺數學知識的生成過程

跟不少同行接觸到核心素養這一概念時的第一感覺不同，我們并不認為這“又”（相對于此前的一些教育教學理念而言）是一個新的“華而不實”的理念，而是一個確實可以概括已有的教學努力，同時又可以指向社會發展與學生成長需要的新的教學理念.

即使從最現實的角度來看，將我們對高中數學教學已有的認知，尤其是對學生學習品質的培養納入到核心素養體系當中來，可以讓我們更好地理解自己所教的數學課程，從而更好地促進學生建構知識，這就是數學核心素養對學生數學學習的“反哺”意義.

反哺是一個隱喻，反哺的意思就是提升學生的學習品質，進而以這種學習品質來促進自身對數學學習的理解與對數學知識的建構——這是一個以陳述性知識作為外在體現，以程序性知識作為內在支撐，通過后者促進前者的有效建構，通過前者促進后者日益完善的過程. 如果把數學核心素養理解為一種綜合性的素質的話，那其對學生建構數學知識一定是有益的，這一點毋庸置疑！endprint