探究教材習題，感悟數學本質

鄭日鋒

[摘 要] 從一道教材習題出發，站在研究問題的高度，通過問題變式與拓展，引導學生探究，讓學生體驗問題研究的過程，感悟數學本質.

[關鍵詞] 復習課教學；教材習題；數學本質

復習課教學的根本任務是促進知識條理化、系統化，進而提高學生分析問題與解決問題的能力，形成良好的認知結構. 而傳統的復習課中，教師往往進行“就題論題”教學，題目之間缺乏聯系，對某種方法重復操練，很多時候“見木不見林”，對學生能力提升不夠；長期的教師出題學生做題，扼殺了學生的提出問題能力；雖然課堂上精講精練，學生碰到相關問題還是束手無策，感悟不到問題的本質. 如何改進傳統的復習課教學，是每一位數學教師的重要課題.不久前，筆者公開教學“圓錐曲線復習課”，這節課從一道教材習題出發，通過問題的變式及拓展，引導學生探究，完成了對“三基”的復習，讓學生體驗了研究數學問題的過程，學生的思維能力得到了有效的提升.

[?] 教學簡錄

1. 學生講解上節課問題的解題思路

解決直線與拋物線的位置關系問題常用坐標法思想、方程思想，以上是比較簡便的方法，第（1）小題證法1設點，證法2設斜率，證法1簡便些，有些同學將OA⊥OB轉化為kOA·kOB=-1，再轉化為y1y2=-4，與向量轉化殊途同歸. 還有很多同學是通過消y的方法解決，顯得比較煩瑣，如果換成開口向上或向下的拋物線，選擇消去y的方法比較簡便.

2. 探尋條件不變下的其他結論

教師：科代表既介紹了同學們的各種解法，也對各種解法的特點作了點評，非常全面而到位.此問題說明OA⊥OB與直線l恒過定點M（2，0）是等價的.現在我給大家提出下列問題.

的最小值；②求S△OAB的最小值；③求AB的中點M的軌跡方程；④過O作OH⊥AB于H，求H的軌跡方程.

教師：愛因斯坦說：“提出問題比解決問題更重要.”同學們不但會做題而且會編題，下面從同學們編擬的題目中挑選第②，③題，想一想大致思路.

學生1：第②小題我的做法是：（建立目標函數法）由OA⊥OB得直線l恒過定點M（2，0），且y1y2=-4. 所以S△OAB=·2·

教師：學生1和學生2都能靈活運用所學知識解決問題，而且能根據問題的特征選擇適當的方法解決問題.

3. 探尋得到結論的其他條件

問題2：能否將OA⊥OB換成其他條件，也得到直線l恒過定點M（2，0）？

教師：學生10具有敏銳的洞察能力和較強的概括能力，說明拋物線的結論在特殊情況下對橢圓并不成立，需要附加條件. 請思考：上述（1）（2）的結論有怎樣的聯系？

學生11：（2）的結論可以看作是定點在y軸上的無窮遠處.

教師：學生11利用極限思想找到看似不同的結論的聯系. 太棒了！

教師：這節課我們從課本的一道習題出發，經過聯想，縱向提出問題；經過類比，橫向提出問題，所有這些問題不外乎定點問題與定值問題，解決這兩類問題的總體策略都是坐標法思想與方程思想，具體地說有兩種方法，一是設點參數，體現了設而不求思想；二是設線參數（斜率或斜率的倒數）. 真所謂萬變不離其宗！

請同學們完成本節課未解決的問題，并思考：你能否將問題2得到的結論推廣到一般情況？類比到橢圓、雙曲線又能得到怎樣的結論？

[?] 教學啟示

教材是眾多專家集體智慧的結晶，經過長期的使用、修改而不斷完善，日臻成熟. 本節課把一道教材習題的改編作為原問題，喚起學生對基礎知識、基本方法的回憶，然后循著原問題，引導學生提出問題、分析問題、解決問題，始終以學生為本，貼近學生思維的最近發展區，時而學生提出問題，時而教師提出問題，最大限度地調動了學生探究學習的熱情.

驅動學生積極思考，經歷觀察、試驗、類比、概括、推理等一系列的過程，從感性到理性，從簡單到復雜，從具體到抽象，從錯誤到正確，生生之間、師生之間的思維不斷地碰撞. 學生敢于聯想、敢于質疑，并能提出自己的問題，這是學生學會學習、學會探究的關鍵和根本. 蘇霍姆林斯基曾說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者. 而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈.”

在這些不斷變化的問題中，會讓學生站得更高，看得更遠，讓學生頓悟貫穿其中的數學思想方法，感悟數學的本質. 一個數學問題是如何演變的，一個數學結論是如何得到的，如何提出猜想，又如何否定猜想、修正猜想、證明猜想，問題與問題之間是有機聯系的，問題是變化的而解決問題的方法、策略卻是不變的，隨著問題的變化，方法、策略又需要調整. 這節課學生體驗了研究數學問題的過程，也鍛煉了意志品質，提升了數學核心素養，收獲了知識，更收獲了方法、思想，還為今后更高層次的創新奠定了基礎.endprint