高中階段數學建模思想管窺

董紅超

[摘 要] 數學建模思想是新課程理念中發展學生應用能力的重要體現，綜合現階段的研究成果我們可以從數學建模的定位、定義、過程、功能和現狀五個方面來考察高中階段的數學建模；透過對各個教材的掃描可以發現高中課標對數學建模的具體內容要求；根據高中階段數學建模的難易程度可以將建模教學分為三個階段來進行.

[關鍵詞] 數學建模；基本認知；內容要求；教學融入

高中數學課程標準中明確提出要提高學生數學應用能力，發展學生數學建模思想. 隨著課程理念的深入，數學建模在高中教學中的重要性逐步被人們關注. 一個典型的標志在各省的高考和調研卷中，數學建模的問題總是作為倒數第三道問題出現，并且越來越現實化，有逐步擺脫應用題的趨勢. 本文嘗試從現階段對高中數學建模的認知、內容要求和教學融入三個層面來管窺高中階段數學建模思想.

[?] 高中階段對數學建模的基本認知

基于對現階段高中數學建模專題研究的成果，本文嘗試從定位、定義、過程、功能、現狀等五個方面來闡釋我國高中階段對數學數學建模思想的基本認知.

首先，從定位角度看我國對高中階段的數學建模普遍持一種應用性取向. 目前國際上對高中階段數學建模思想的定位有本身取向——數學建模是數學學習本身的內容；應用性取向——數學建模是提高實際問題解決能力的重要工具；動力性取向——數學建模能夠提升學生數學學習的動力. 這幾種取向各有支持，但從我國課程標準的描寫來看，我國對高中數學建模定位應當是應用性取向，因為在高中數學課程標準的課程理念欄目下第五條明確指出要發展學生的應用意識，同時提出高中數學課程要開展數學建模的學習，在學習的過程中教材要能為基本的知識提供相應的現實背景，同時建模學習要能夠反映現實價值.

其次，從定義角度看持不同定位的專家對數學建模的定義并不相同. 但我國所持的應用取向的建模定位決定了我國對數學建模的定義必定帶有應用的味道. 我們認為“數學建模思想就是用數學的知識來處理實際問題的一種方法，它通過對實際問題的觀察與分析，抽象出實際問題的內在聯系，并把這些內在聯系轉化成相應的數學關系，利用數學關系建構與實際問題相符的數學符號系統，從而使原有問題轉變成數學問題的一種數學方法與思想.”

第三，從過程的角度來看數學建模大致需要經歷問題情境—現實模型—數學模型—數學結果—問題情境這樣一個循環過程. 也就是說數學建模是從實際出發將其理想化成現實的模型，經過數學化的改造形成數學模型，再通過數學的思考過程得出一定的數學結果，并將結果帶回實際中進行驗證和闡釋現實問題的過程.

第四，從功能的角度來考察數學建模，可以發現數學建構對于修正傳統教學、拓展學生的思維力和發展學生實踐能力有著重要的價值. 首先傳統數學教學關注的是學生的數理邏輯和演算能力，這種教學往往脫離實際，而數學建模用抽象思維來針對現實問題，能夠發展學生的形式邏輯對單一的傳統教學起到修正作用；其次，一般數學教學往往側重于聚合思維，而對發散思維則關注不夠，數學建模因其情境模糊性并沒有現成的解決方向，因而更能關注到學生的發散思維能力；第三，現實的數學教學中遇到的問題往往是高度數學化的問題，這樣的問題具有高度的數理性，它就像懸在空中的樓閣一樣不接地氣，對學生的實踐能力發展沒有太大裨益，而數學建模則起源于現實又歸復于現實，需要學生從實踐中來到實踐中去有助于發展學生實踐能力.

第五，從現狀的角度看我國高中階段數學建模可用既值得欣喜又令人擔憂來形容. 欣喜的是自新課程改革以來，由于新的教學理念在教師中不斷扎根，數學建模的思想在高中階段受到越來越多的關注，逐步走進了我們日常教學中. 但關于建模教學的現狀又是令人擔憂的. 這其中存在兩類突出的問題：其一，不少教師將數學建模的教學等同于傳統的應用題教學，嚴重地窄化了數學建模的內涵；其二，數學建模因其生成的特性使得耗時較長，而當今的高中教學又處在一個十分注重教學進度的時代，這就造成雖然認知到其重要性但又不愿在建模上花時間的教學現狀.

[?] 高中階段中數學建模的內容要求

掃描幾個不同版本的高中數學教材，可以發現與大學階段數學建模獨立成體系不同，高中階段的數學建模思想更多的是滲透在各個知識的運用之中，這一點也恰恰與我國課標對高中數學建模思想的定位相契合. 具體說來，高中階段滲透在各章節中的數學模型大致可歸納為函數模型、三角模型、概率模型、數列模型和不等式模型等幾個重要內容. 按照教學的順序我們可以把這些建模教學分為三個階段：高一年級簡易建模；高二年級中等建模；高三年級綜合建模.

首先，在高一年級學生由于受知識范圍的限制，只能進行簡易的建模教學.在這一階段仍以較高程度數學化的應用題為中介，往往是純數學理論學習后呈現問題使學得的知識在問題中得以應用；同時這一階段仍是以教師對模型建構的示范，學生跟隨教師學習的方式為主. 此階段中主要涉及的建模內容有函數模型，概率模型.

例：某計算機集團公司生產某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元. 分別寫出總成本C（萬元）、單位成本P（萬元）、銷售收入R（萬元）以及利潤L（萬元）關于總產量x（臺）的函數關系式.

其次，在高二年級由于學生經歷了一年的高中學習，無論知識面還是處理問題的能力都得到了一定發展，有了進行中等難度建模學習的基礎. 在這一階段建模學習的中介是經過簡單數學處理后的應用題，主體由教師逐步轉變為學生，以學生模仿為主，而教師的作用更主要的表現為引導和助推. 此階段中所涉及的建模內容包含三角模型、數列模型和不等式模型.

例：一個摩天輪半徑為10 m，輪子的底部在地面上2 m處，如果此摩天輪按逆時針轉動，每30 s轉一圈，且當摩天輪上某人經過點P處（點P與摩天輪中心高度相同）時開始計時.（1）求此人相對于地面的高度關于時間的關系式；（2）在摩天輪轉動的一圈內，約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17 m..endprint

第三，在高三階段學生已經學完高中階段的所有內容，知識和能力達到階段性飽和，有了進行綜合性建模的前提.這一階段建模的情境已經變成徹底實際化的“原坯”問題，這一階段中學生能夠脫離教師進行獨立的數學模型建構. 此階段中所涉及的建模內容不再拘泥于哪一種數學模型而更傾向于各種模型的綜合應用.

例：A，B是兩個垃圾中轉站，B在A的正東方向16 km處，AB的南面為居民生活區.為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發電廠P. P的選址擬滿足以下兩個要求：①發電廠到兩中轉站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成等系數反比，②發電廠要遠離居民區. 現估測A、B兩中轉站每天處理的垃圾量約為30和50噸，問發電廠應如何選址.

[?] 高中階段里數學建模的教學融入

根據數學建模在高中內容要求中的不同難度，個人認為應當對數學建模進行整體規劃，具體的講：建模的教學融入也分初級、中級和高級三個階段來進行. 在分段進行教學融入的同時也要關注形式與方法的選擇.

高一是數學建模教學的初級階段. 這一階段主要任務是簡單介紹數學建模的相關內容，以激發學生對數學建模思想的興趣為主. 這主要是因為高中以前的數學教學的絕對核心是數理知識的掌握，對于數學應用意識缺乏焦點的關注，同時學生知識范圍也相對窄小，所以學生對數學模型基本上是毫無意識的. 因而，這一階段的建模教學應當以教師的示范為主，在拓展學生知識范圍的同時提高學生的數學應用意識，從而逐步認識數學模型，介入數學建模. 這一階段的教學形式主要以插入式為主，即在傳授知識的過程中遇到與數學模型相關的情境時，可以進行問題分析、模型分析和模型建立的講解插入.

高二數學建模教學的中級階段. 這一階段主要任務是讓學生經歷整個建模與解模的過程，以數學建模思想的扎根為主. 這主要是因為經過一年時間教師不斷地穿插引導，在潛移默化中學生已經初步認識了數學建模，同時一年學習使學生的知識面得到了一定范圍的拓展，從而有了一定建模能力. 但此時學生的意識仍然停留在用一定的數學知識解決應用題的階段，并未能認識到數學模型對于解決現實問題的作用. 為了使數學建模思想扎根學生意識中，教學中可以數學建模專題的形式，對數學建模進行討論，引導學生經歷建模與解模的全部過程. 同時根據建模難度的差異選擇學生獨立或小組合作的形式進行.

高三是數學建模教學的高級階段. 這一階段的主要任務是發展學生解決實際問題的能力，以綜合性數學建?；顒訛橹? 這主要是因為高三已經進入復習階段，學生的知識與能力達到了階段性的飽和狀態，同時經過二階段的鍛煉建模意識已扎根學生心中，有了綜合性建模的基礎. 這一階段學生已經能獨立進行分析問題—歸納模型—數學模型—數學結果—驗證問題這一完整的建模過程，而教師已經基本成了一名觀察員. 因此這一階段的建模教學更應傾向于課外的輔導與活動.

透過上面的分析，個人認為高中數學建模的教學融入可用教師與學生角色發展來刻畫. 教師由初級階段的主導者發展到中級階段的引導者再到高級階段的觀察者；學生由初級階段的學習者發展到中級階段的參與者再到高級階段的主體.endprint