在高中數學教學中圖式理論運用的嘗試

高遠

[摘 要] 圖式及其理論是描寫學習心理的重要理論，許多教學理論都與圖式理論相關.高中數學教學中，運用圖式理論來解釋教學，可以讓教師更清晰地把握學生的學習過程，并對教學過程的優化產生新的理解.在實踐的基礎上研究圖式理論，并尋求圖式理論對學習過程的有效解釋，都可以促進學生在學習過程中對圖式建立或激活、學習方式選擇（同化或順應）、新圖式形成等方面獲得長足的發展.

[關鍵詞] 高中數學；圖式理論；圖式教學；理論深思

當將高中數學教學置于某一個理論之下時，你會發現理論與實踐之間可以形成一個良好的關系.在解釋學習的多種理論中，擁有圖式理論很重要，尤其是對高中數學教學而言，圖式理論在數學概念構建、規律理解、問題解決等各個方面都有著重要的實踐解釋與理論引領作用，可以讓教師對學生的學習及過程的理解更為透徹，可以讓教師自身的專業成長尋找到更好的參照. 長期以來，利用圖式理論解釋高中數學教學的嘗試一直被數學教師所重視，即使在課程改革最高潮的時候，圖式理論也從未淡化過其色彩. 而當今天教育理論界準備用核心素養以及學科核心素養引領課程改革進一步深化的時候，筆者發現圖式理論仍然有著非常強的生命力.

[?] 對圖式及圖式理論的理解內化

圖式是一個具有一定歷史發展歷程的概念，關于圖式的理解有很多種，有人認為“圖式就是人腦中已有的知識結構”，也有人認為“圖式是人腦中的認知結構（與知識結構是完全不同的概念，不能混淆）”，還有人認為“圖式就是人對已有的經驗的有效組合”……透過這些理解可以發現，盡管對圖式的描述不盡相同，但其中有一個共性，那就是圖式是人腦中已有的知識或經驗及其有機的組合.

對圖式的研究，要以著名的瑞士心理學家皮亞杰最為深入，因此皮亞杰的理論常常被稱之為“圖式理論”，在皮亞杰的發生認識論中，圖式是一個基礎性的概念，是學習發生的基礎，其與同化、順應、平衡一起，共同組成學習的過程.在這四者當中，圖式是基礎，同化及順應是學生發生學習的兩種不同方式——同化是用原有的知識演繹出新的知識，而順應則是通過對原有圖式的調整甚至是建立新的圖式以完成新知識的建構，而學習的結果是達到新的平衡.

課程改革以來，對理論支柱的討論非常熱烈，盡管通常并不認為建構主義是課程改革的基礎，但在實際教學尤其是數學教學中，還是可以看到明顯的建構主義理論的影子，而建構主義就是十分重視學生的原有知識或經驗基礎的——先前經驗，這又是與圖式理論極為一致的，因此很多人認為建構主義實際上是對圖式理論及其他相關理論的一種綜合，是一種有效的描述知識（尤其是理科知識）學習的重要方式.

今天我們嘗試用圖式理論理解高中數學教學，一個重要的思路就是遵循知識發生的過程，并尋求圖式理論的解釋，而解釋的最基本的途徑，就是在圖式的基礎上如何通過同化或順應，來達到新的平衡.

[?] 用圖式理論理解數學有效學習

高中數學教學的本義是教師教學生學習高中數學，其最終是指向學生的學習的——這一點與圖式理論毫無二致. 因此用圖式理論理解高中數學教學的過程，也就是用圖式理論解釋高中學生數學學習的過程，只不過在這個過程中需要留一只眼睛觀看教師的教學行為與思考罷了.

先以數學概念的教學為例. 在“圓錐曲線”這一節內容的教學中，通常都是用一個平面與一個圓錐面相截，可以得到高中數學中的多種典型的曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線等，在實際教學中筆者發現，盡管學生對橢圓、雙曲線和拋物線三個概念具有一定的先前經驗，也就是學生已經具有了較好的圖式——這個圖式來自于生活經驗以及數學學習（也包括其他相關學科的學習，如物理學科中對拋體運動的研究），但是這些圖式對于此處知識的構建難以起到真正的促進作用，因為在圓錐曲線的視角下，這三個重要的曲線都是通過到兩個定點，或到一個定點與一條直線的距離的比滿足一定條件的點的軌跡來定義的. 這種定義方式十分抽象，其難以以形象的事物作為支撐，甚至有的時候還會在部分學生的思維里引發混亂，正如有學生所說“你告訴我一個物體拋出去就是一個拋物線我還能理解，你說到一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫拋物線，我反而不太容易理解”，這就是概念建構的復雜性.

利用圖式理論來建構有效的學習過程的設計可以是這樣的：第一步，先讓學生充分回憶橢圓、雙曲線、拋物線的相關知識，并在腦中形成清晰的表象，從圖式的角度來看，這是利用形象思維重現清晰的圓錐曲線的表象，以讓這個圖式更為清晰與立體；第二步，借助于現代教學手段，利用動畫完成平面與圓錐面相切的過程，在這個過程中，以上三個曲線的最終形成可以用不同的顏色的線條凸顯出來，以強化學生已有的圖式；第三步，借助于圖式理論中的順應（無法同化），在確定了平面內的定點或定直線之后，以到定點或定直線的距離作為研究對象（也同時進入了順應的過程），重新構建對三種曲線的理解；第四步，通過兩種圓錐曲線的認識方式的比較，深化對圓錐曲線形成的認識，從而達到新的平衡，并建立新的圖式.

這樣的教學過程中，從舊圖式向新圖式的過渡過程，就是一個學生的數學知識延伸與數學思維發展的過程，以圖式理論來解釋這樣的一個過程，會較為清晰地把握學生的學習，并預知有可能出現的困難（就是順應過程中的困難），從而提出有效的措施.顯然，這對于學生的數學核心素養的形成，也是很有價值的.

問題解決也是高中數學教學的一個重要內容，從圖式理論的角度來看，問題解決就是學生運用已有圖式去尋求問題解釋的過程. 最基本的問題解決就是數學習題的解答，而如果這個習題具有一定的生活情境，則對學生的圖式就更是一個有效的考驗. 在圓錐曲線知識的學習中有這樣的一個問題：取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定，然后將筆尖放在拉鏈開合的交界處，隨著拉鏈的閉合或拉開，就可以得到一條曲線，試判斷這個曲線屬于圓錐曲線中的哪一種曲線.

這個問題如果直接放在圓錐曲線的學習之后解答，那學生在調用圖式的時候會簡單一些；如果在圓錐曲線學習之后一段時間再考查學生，那學生在判斷運用哪個圖式的時候就復雜一些.但有一點可以肯定的是，問題中的相關條件如兩個定點等，已經能夠激活學生在圓錐曲線學習中建立的相關圖式，而恰當的圖式一旦被有效激活，那問題的解決就有了一半. 因此在本問題的解決過程中，筆者的重心就放在圖式激活上，就放在跟學生一起解讀問題的表述方式，并通過數學抽象，將之或以實際拉鏈的操作（數學活動），或以圖形加工（想象表象的建立）的方式，以幫學生形成清晰的圖式. 事實證明，這樣的工作是有效的，如果把學生對此問題的解決比作一個工程，那這樣的激活、建立圖式的過程，就是一個打基礎的過程. 只要這個過程是順利的，只要學生解決問題的圖式被順利建立起來，那后面的問題可以迎刃而解，而這恰恰就是問題解決所追求的效果.

因此從上面所舉的兩個例子來看，圖式理論在解釋有效學習、有效教學的時候，確實可以發揮重要的引領作用，從而讓教師的教學思路更清晰，讓學生的學習過程更有效.

[?] 高中數學教學中圖式理論深思

用圖式理論來解釋高中數學教學不是一個創舉，但其帶來的思考卻是深刻的. 長期以來，高中數學教學由于應試的需要，而自困于應試教育的空間里，盡管在這個空間中數學教師或許有著各種各樣的成就感，但其真正從數學學科的角度來看，其實可以發現自己并沒有真正走入數學，而這顯然是數學教師的遺憾；再從數學教學的角度來看，數學教學的過程應當是一個自身專業成長的過程，可囿于應試，除了整天刷題，幾乎沒有其他的研究數學及其教學的機會，因此很難說有專業成長；最后從學生成長的角度來看，盡管我們承認學生在數學學習中需要取得高校的入場券，可是數學作為一門工具性、基礎性學科，學生在三年的高中數學學習過程中真正獲得了什么樣的理性思維與數學素養，這仍然是需要評估的.

所有的這些思考，其實都指向了同一個問題，那就是數學教師在教學中是不是有一個有效的理論在引領自己前行. 圖式理論是經典的教學理論，圖式理論在無數的課程改革、教學改革中都經受了考驗，其直接指向人的有效學習過程，通過簡易卻有效的過程來說明學習的過程，并從中發現影響學習的相關因素，這顯然可以讓教師有效地把握學生的學習過程，用來解釋高中數學教學是非常恰當的.

在筆者看來，圖式理論真的是博大精深，其對高中數學教學的價值還遠遠沒有被完全發掘出來，需要一線教師結合自身的教學實踐付出更多的努力.endprint