初中生幾何直觀能力的發展評價研究

唐平+付天貴

【摘要】幾何直觀是運用圖形去描述數學問題和分析數學問題的一種思維活動。從數學問題解決的角度看，幾何直觀表現為一種問題解決的方法，從學生學習角度看它是一種思維活動，從結果看它表現為運用圖形描述和分析問題的能力。采用測量的方式研究了初中生幾何直觀能力的發展，結果發現：幾何直觀存在不同的水平，初三年級學生幾何直觀能力水平高于初二年級；同一年級達到掌握和推理水平的學生較少。

【關鍵詞】問題解決 幾何直觀 水平差異

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）46-0126-02

一、問題提出

幾何直觀是新數學課程標準提出的十個核心概念之一。幾何直觀不同于數感、符號意識、空間觀念、數據分析觀念等這些主要體現在數與代數、圖形與幾何、統計與概率具體領域的核心概念，它存在于數學學習的各個領域，貫穿于數學學習的整個過程。數學課程標準指出：借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果[1]。數學學習過程，本質而言是問題解決的過程。無論是數學家、教師還是學生，在數學教與學以及研究過程中，都認識到幾何直觀對應問題解決的重要性。數學家希爾伯特（Hilbert，1862—1943）在其名著《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。荷蘭數學教育家弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”我國著名數學家華羅庚先生也曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”。這里的數形結合強調的也是幾何直觀，由此可以看出幾何直觀對于數學學習的重要性。雖然大家都認識到幾何直觀對數學學習非常重要，但對幾何直觀是什么卻并未形成統一認識，對學生幾何直觀能力發展研究相對較少。

二、幾何直觀的含義

數學教育界普及接受幾何直觀這一概念，但對其含義卻有不同的認識和理解。數學家克萊因認為，數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。在克萊因這里，數學的直觀顯然是比幾何直觀更廣泛的概念，同時他認為數學直觀是對概念和證明的直接把握，但究竟什么是直觀的把握并未明確指出，但更多地，這里的幾何直觀是一種方法，理解概念和證明的方法。從心理學角度而言，直觀是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識。但幾何直觀不僅僅是感性認識，徐本順，商應鋼認為，在科學創造的過程中，既有形象思維，又有抽象思維，另外還有間于二者間的中間環節，借助于幾何直觀進行思維就是屬于這樣一個中間環節。[2]徐利治認為，數學中的直觀是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知[3]。顯然，在徐利治先生等人看來，幾何直觀既與直觀感知相聯系，又有區別，它是一種數學思維，因為必須對事物的關系有深刻的認識和理解，通過數學思維活動才能建立起對象與圖形的聯系。

2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》明確提出要培養和發展學生的幾何直觀能力。幾何直觀是一種能力的觀點得到國內學者廣泛的認同（杜佩璟，謝林，2007；史寧中，孔凡哲，2012；等）。2011年版義務教育數學課程標準指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。[4]顯然這是對幾何直觀的一個描述性解釋，雖然它未明確說明幾何直觀的內涵是什么，但卻告訴有關幾何直觀研究者和教師，如果給定數學問題，則可以從觀察學生是運用圖形、圖表去描述問題和分析問題的結果，從而分析學生的幾何直觀能力。既然要用圖表、圖形去描述數學問題，研究數學問題的解決，那就一定離不開數學思維活動。

我們認為幾何直觀是運用圖形去描述數學問題和分析數學問題的一種思維活動。幾何直觀這一定義數學方法、數學思維和思維活動的結果統一起來。該定義可以從以下不同層面去理解。首先，從數學問題解決的角度看，幾何直觀表現為一種問題解決的方法，即是運用圖形去研究數學問題的方法；其次，從學生學習角度看，幾何直觀是一種思維活動，學生要能用圖形和圖表去描述所遇到的數學問題，必須在對數學問題有充分認識的基礎上，通過想象、聯想等思維活動，才能從幾何角度建立其對象的數學關系和空間形式與圖形的關系；第三，從結果看，幾何直觀表現為運用圖形描述和分析問題的能力，也就是學生遇到數學問題，能否用實物直觀、符號直觀、圖形直觀去描述問題的能力。把幾何直觀定義為一種數學思維，就可以把它和范.西爾（Van Hiele）夫婦的幾何思維模式聯系起來。荷蘭學者范·西爾夫婦研究了幾何思維模式，認為幾何思維有認識、分析、非正式演繹、正式演繹、嚴密5個水平構成，并指出這些水平是非連續的。后來，有研究者研究了范·西爾的幾何思維水平，指出這些水平是動態的、連續的（Burger&Shaughnessy，1999），并通過測量，證實了幾何思維水平1到水平4的存在和層次性（Gutierrez&Jaime（1986）。雖然范·西爾夫婦等人并未直接研究幾何直觀思維，但可以看出，思維存在水平差異，可以進行測量。

三、幾何直觀能力的測量

（一）幾何直觀分析框架

數學是研究數量關系和空間形式的科學。義務教育數學課程標準把結果性目標分為了解、理解、掌握和運用四個水平，并對每個水平進行了描述。從結果看，幾何直觀是一種能力，是借助于圖形的形象關系對空間形式和數量關系進行感知、理解、把握和推理的能力。根據課程標準的層次劃分，結合范·西爾幾何思維水平的層次研究，我們建構了幾何直觀分析框架。[5]框架為測量義務教育階段學生幾何直觀思維水平，分析幾何直觀能力的發展奠定了基礎。

（二）測量工具

為測量初中生幾何直觀能力水平，組織了有經驗的初中數學教師編制《初中生幾何直觀能力測試卷》，測試卷由6個問題組成，每個項目5分。根據我們對小學生幾何直觀能力的測試，幾乎所有學生都能建立實物與學習對象的對應關系，達到幾何直觀的感知水平，大部分學生都達到第2水平，即理解水平，因此，測試卷沒有水平1的項目。測試卷結構如下：第1題由兩個問題組成，一是告訴不等式組，要求用數軸表示出不等式組的解集，二是讓學生觀察數軸表示出x的范圍，考察學生能否建立數學對象和圖像間的關系，屬于理解層次；第2題和第3題一個是代數問題，一個是幾何問題，屬于把握層次；第4、5、6題都屬于推理層次題目，其中第4題是運算題，第5題和第6題應用題，都要求學生運用圖像描述問題、分析問題，以探求問題解決的思路。

（三）測量結果

測試對象來自重慶某區縣初二、初三年級，學生人數分別是64人和60人。年級在各測試項目的平均得分統計結果見表一。

給定顯著性水平a=0.05進行T檢驗，二年級和三年級在項目1，項目2、3，項目4、5、6都存在顯著性差異，同一年級在項目1，項目2、3，項目4、5、6的平均分也存在顯著性差異。

四、結論與思考

由于已有研究證實了幾乎所有學生都能達到幾何直觀的感知水平，所以本研究只關注了幾何直觀其他水平。研究表明：作為一種數學思維，幾何直觀存在不同的水平，只是它們在本研究中用理解、把握、推理去表示；初二年級與初三年級幾何直觀能力存在顯著性差異，初三年級學生幾何直觀能力水平高于初二年級；統計還發現，80%左右的學生能達到理解水平，50%左右學生達到了掌握水平，只有10%左右的學生達到了推理水平。測試項目是初中二年級學生能夠解決的問題，但初三學生在每一個水平上的得分都高于初二，這說明幾何直觀思維水平受數學知識積累的影響，后續數學知識的學習和所掌握的數學方法，拓寬了學生的數學視野和思維，從而對先的數學問題解決獲得了方法上的指導。就同一個年齡段而言，能達到掌握和推理直觀水平上的人數較少，這啟示教學過程中，要注重用圖形、圖表去描述數學問題，提高學生的幾何直觀水平。

參考文獻：

[1][4]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M]].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]徐本順，商應剛.關于思維中的幾何直觀問題[J].西北大學學報.1984.43（2）：91-96.

[3]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J].數學通報.2000（5）：1-4.

[5]唐平，付天貴.義務教育階段幾何直觀分析框架[J]. 教學與管理.2016（30）.83-85.

作者簡介：

唐平（1979-），女，重慶永川人，重慶文理學院講師，研究領域：數學課程與教學論，義務教育數學課程改革。

付天貴（1969-），男，重慶酉陽人，重慶文理學院副教授，西南大學數學與統計學院博士生，研究領域：數學課程與教學論。