淺談概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王雙

摘 要：高等數(shù)學(xué)知識(shí)是一門難度較大的學(xué)科，在學(xué)習(xí)以及解決實(shí)際問題的過程中，如果不能使用正確的方法，那么無疑會(huì)在很大程度上增大學(xué)習(xí)難度。教學(xué)實(shí)踐證明，在高等數(shù)學(xué)中融入概率思想具有積極的作用，不僅能夠降低高數(shù)知識(shí)的抽象性，同時(shí)也能為解決高數(shù)問題提供方法。鑒此，本文即結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際情況，以及概括思想的有關(guān)概念分析，進(jìn)而過渡到探究概率思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用案例。

關(guān)鍵詞：概率思想 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）11-0013-01

概率論作為數(shù)學(xué)的分支，主要研究一些隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律。高等數(shù)學(xué)是高校最為重要的課程之一，其不僅對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)業(yè)（如考研進(jìn)修等）有著至關(guān)重要的意義，同時(shí)還對(duì)學(xué)生綜合計(jì)算能力的發(fā)展有著深遠(yuǎn)影響。但多數(shù)高等數(shù)學(xué)題目難度較大，步驟繁瑣且較困難，但如果有效將概率思想融入高數(shù)之中，那么能夠起到化難為易的效果。如此一來，不僅能夠降低教學(xué)難度，同時(shí)也能夠?qū)⒏怕收摰闹R(shí)代入其中，化難為易，使復(fù)雜的過程變得簡單，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

1 概率思想概述

概率思想的產(chǎn)生源于數(shù)學(xué)家們對(duì)概率理論的全面探究，直到18世紀(jì)，概率思想才得到了快速發(fā)展。據(jù)資料顯示，推動(dòng)現(xiàn)代概率思想發(fā)展的是一名瑞士數(shù)學(xué)家伯努利。他在研究概率理論的過程中，提出了著名的伯努利定理。該定理的提出不僅在很大程度上推動(dòng)了概率理論體系的發(fā)展，同時(shí)也對(duì)概率思想的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。隨后法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯在其著作中系統(tǒng)的對(duì)概率思想作了概述，也建構(gòu)了概率思想的整體框架。拉普拉斯在他的著作中，對(duì)概率思想作了以下定義：假設(shè)一個(gè)整體是由N個(gè)事件的可能組成，且每一事件發(fā)生的相同可能性是肯定的，可能性E由n個(gè)事件組成，那么可能性事情E發(fā)生的概率就是n/N，如此解決問題的思想即是概率思想。現(xiàn)如今概率思想已經(jīng)廣泛的運(yùn)用于自然科學(xué)、醫(yī)學(xué)、軍事技術(shù)等各個(gè)方面，這便為社會(huì)的發(fā)展與進(jìn)步奠定了良好的基礎(chǔ)。

2 概率思想在高等數(shù)學(xué)應(yīng)用中的意義思考

2.1 降低高等數(shù)學(xué)的復(fù)雜性與抽象性

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生抽象化的數(shù)學(xué)思維，以及利用積分定理解決數(shù)學(xué)問題的綜合計(jì)算能力。相對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的具象性特點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)則無疑是抽象而又復(fù)雜的。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言，都是極大的挑戰(zhàn)。運(yùn)用高等數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題時(shí)，往往都是以大量的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行抽象化的描述，而數(shù)字運(yùn)算的效用則被削弱，這便進(jìn)一步加強(qiáng)了其抽象性。然而運(yùn)用概述思想，將高等數(shù)學(xué)問題向概率知識(shí)轉(zhuǎn)換，便能夠提高數(shù)字運(yùn)算的比重，從而降低高數(shù)的復(fù)雜性與抽象性。

2.2 概率思想的補(bǔ)充作用

在解決高等數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是運(yùn)用抽象思維建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行驗(yàn)算，在整個(gè)過程中抽象性思維及想象力起到了很大的作用。而概率思想在計(jì)算的時(shí)候，可以通過對(duì)計(jì)算結(jié)果的估測進(jìn)行計(jì)算，這樣極大的彌補(bǔ)了機(jī)械計(jì)算的缺陷。

3 概率思想在高等數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用

3.1 應(yīng)用概率分布特性簡化計(jì)算過程

∑求和是高等數(shù)學(xué)以及概率論中經(jīng)常使用的計(jì)算工具，在解決此類問題時(shí)，通常我們可以交叉使用高數(shù)知識(shí)與概率論知識(shí)。而解決小于1大于0的數(shù)字所組成的事件發(fā)生概率的數(shù)學(xué)題目時(shí)，我們則可以有效運(yùn)用概率分布特性簡化計(jì)算過程。

例1：計(jì)算∑nk=2Cknakbn-k（a>0，b>0）.

在解決此問題時(shí)，我們可以利用理論概率思想，將其轉(zhuǎn)換成概率問題，如假設(shè)不均勻地拋出硬幣N此，用X表示拋投硬幣，則正面出現(xiàn)的概率P=aa+b，N次后出現(xiàn)正面的概率則為P{X=k}=Cknpk（1-P）n-k，k=0，1，2，3，…，n。再根據(jù)概率的分布規(guī)律可知，1=∑nk=0p{X=k}=∑nk=0Cknaa+bkba+bn-k，所以這道題的答案就是∑nk=2Cknakbn-k=（a+b）n-bn-nabn-1。

3.2 概率思想在定積分計(jì)算中運(yùn)用

將概率思想有效運(yùn)用于定積分的計(jì)算之中，同樣能夠簡化計(jì)算過程，并降低計(jì)算的抽象性，從而提升計(jì)算效率。在實(shí)際應(yīng)用過程，我們首先是運(yùn)用概率思想將定積分公式進(jìn)行變形，以隨機(jī)變量的密度函數(shù)置換被積函數(shù)，并將某一函數(shù)的積分作為分布的正態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)，并結(jié)合正態(tài)函數(shù)分布的特征以及概率密度函數(shù)的特性將積分計(jì)算簡單化。

例2：計(jì)算∫■■e■22a2dx.

在解決此問題時(shí)，我們即可以運(yùn)用概率思想將定積分運(yùn)算的各個(gè)元素進(jìn)行置換從而得出以下概率解題模型：

設(shè)隨機(jī)變量X～N（u，σ2），-∞0，則其概率密度函數(shù)為f（x）=12πσe（x-u）22σ2，x∈R.

概率密度函數(shù)的歸一性∫■■f（x）dx=1，則

∫■■12πσe（x-u）22σ2dx=1，

∫■■e（x-u）22a2dx=2πσ.

由此可見，在計(jì)算定積分有關(guān)題目時(shí)，我們則可以應(yīng)用概率思想，將其轉(zhuǎn)化為概率計(jì)算模型，這樣就可以降低的題目的抽象性與復(fù)雜性，從而提升計(jì)算效率。

3.3 利用概率思想解決極限問題

極限是高數(shù)中十分重要的知識(shí)點(diǎn)，在解決極限問題時(shí)，我們同樣可以運(yùn)用概率分布理論簡化其計(jì)算過程。

例3：假設(shè)an=[n/1！+n2/2！+nn/n！]e-n，求解lim[an].

據(jù)此我們也可構(gòu)建出概率模型：設(shè)i=1，2，3…為互相獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，都服從參數(shù)為1的泊松分布，那么

limP（∑P≤n）=lim[∑-n*1/√n*1]=1/2，最后所得結(jié)果為1/2。

4 結(jié)語

綜上所述，為簡化高等數(shù)學(xué)計(jì)算過程，降低其知識(shí)的抽象性，我們即可將概率思想融入其中，如在定積分、極限計(jì)算中，我們都可以利用概率分布理論簡化題目，從而幫助學(xué)生提高計(jì)算效率，并激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1] 種孝文.概率思想在高等數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].才智，2013

（21）：114-115.

[2] 卓澤強(qiáng)，魏文玲，李小龍.概率思想在高等數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用研究[J].科技資訊，2010（30）.29-30.endprint