數學表征概念對初中教學的啟示

陳燕

[摘 要] 無論是課程改革，還是核心素養，其對教學的作用的一個基本支撐點，是學生對學科知識的有效學習. 表征作為一個基本的認知心理學概論，用以描述學生的學習過程. 在初中數學教學中，利用數學表征這一概念，可以清晰地厘清學生的學習過程，從而對理解課程改革的理念與培養核心素養奠定基礎.

[關鍵詞] 初中數學；表征；數學表征

將十幾年前推行的課程改革，與今天的核心素養概念進行對比，可以發現核心素養作為一個具有高度凝練的概念，其在強調培養學生必備品格與關鍵能力的時候，更強調一個隱性的過程，那就是必備品格與關鍵能力的形成過程. 對于初中數學教學而言，必備品格作為面向情感、道德的要素，其形成于學生的具體學習過程中，而從當前評價體系來說，關鍵能力則是更為重要的教學研究著力點. 在數學視域中，關鍵能力指向很多，對其進行解構并尋找培養途徑可能沒有必要，而從學生的知識建構角度來考慮教學的有效性可能更為關鍵. 經由十多年的課程改革，我們在研究學生的數學學習心理時，接觸到一個重要的概念，那就是“數學表征”，筆者發現，學生的數學表征水平往往代表著其數學知識建構的水平，而教師如果著力于促進學生的數學表征能力，那數學學科的核心素養往往可以自然形成. 從這個角度講，研究數學表征對于初中數學教學來說，極有意義！

數學表征的基本含義

數學表征是表征的下位概念. 表征是認知心理學中的一個基本概念，用以描述學生在學習過程中大腦對信息的加工過程. 也就是說，表征并不是字面上的表示學生的學習結果，而是表示學習過程的，尤其是用來表示知識在學生的大腦中是如何被建構出來的過程的. 在這樣的理解中，表征被賦予了信息加工與建構主義學習理論的觀點. 作為表征的下位概念，數學表征是指對數學概念及其關系的信息加工過程，其指向學生大腦對數學信息進行加工的過程，研究重點是學生如何表征所學習到的數學知識. 初中生在學習數學的過程中，由于思維方式的不同，其對數學知識的加工往往有所不同，這就決定了即使是同樣的學習過程，不同學生個體的學習所得并不完全相同，這種表征的差異性，是學生學習差異性的重要原因. 學習心理研究成果指出，學生在學習的過程中對所學知識表征的形式越豐富，那所學的知識也就越牢固，運用起來也就越得心應手. 而表征形式豐富與否，實際上也反映了學生的表征能力.

舉個例子，學生進入初中之后要學的第一個概念是“有理數”，其中正負數的概念學生在小學已經初有涉獵，思維加工的難度不大，而另一個概念卻容易被教師所忽視，那就是“數軸”. 作為一個基本概念，數軸在教師的思維中再簡單不過，用一個實例略加引導，數軸的概念就形成了. 但對于學生來說，其思維加工的過程是不是也是這么簡單呢？或者說是不是如教師所想象的這般線性呢？答案恐非如此. 因為筆者在教學中常常遇到這樣一個問題：不少學生在數軸相關的表征過程中會出現一些匪夷所思的問題. 比如，有學生在很長一段時間之后都不知道為什么要學習數軸這一概念；也有學生對數軸的理解比較機械，他們不知道數軸的來龍去脈；還有學生對利用數軸解決實際問題時的正負確定表現混亂……種種現象表明，相當一部分學生對數軸這一信息加工的過程表征是不清晰的. 由于表征的間接性，教師只能根據學生的學習表現來推測學生的內部表征，而無法直接觀測學生的內部表征過程，因此，可以斷定還有未曾被發現的表征困難.

促進學生的數學表征

在對包括“數軸”在內的多個數學概念及規律的研究中，筆者發現一個鮮明的對比，那就是如果學生對某個數學概念運用嫻熟，對某個數學關系理解順暢，那這個學生對相關概念與數學關系的表征就是有效的. 因此，培養學生的數學表征能力，促進學生有效的數學表征，就成為數學教師需要重點關注的內容. 基于筆者有限的實踐經驗，筆者梳理了如下兩點供同行參考.

其一，賦予學生自主學習的機會. 自主學習是新課程改革提出的重要的學習方式，而十多年之后回過頭來再思考這一學習方式的時候，筆者發現對其推崇的原因更多的都是來自于專家的說教，而不是來源于對學生學習過程的關注. 而從數學表征的角度來看，學生自主學習時，在自主學習的過程中，學生的表征意識會被喚醒，表征需要會被激活，他們會主動地激活原有的知識記憶，主動地建構數學理解，而在此過程中所生成的一些樸素的概念，常常可以成為數學概念形成的堅實基礎（而在傳統教學中，教師往往拒絕這些樸素概念）.

比如，在“數軸”的教學設計中，教師給出具體的問題情境（如一條路上的汽車站牌、樹木等，直接給出“用圖表示情境”的問題）后，讓學生自主解決這一問題. 既然是學生自主學習的過程，那教師的干預就要盡可能少，此過程允許學生出錯，允許學生自己發明概念（比如有學生用“正、反”或“左、右”表示兩個不同的方向），待學生思維中有了一個完整的關于數軸的表象時，教師再提出相關的概念，那數軸的形象就完整了.

其二，賦予學生自主表達的機會. 自主表達似乎是區域課程改革中強調的一個概念，自從某些地域性的課程改革被媒體放大后，筆者發現其中有一個共性，即強調學生的自主表達. 盡管這些區域課程改革還有不少爭議，但筆者發現讓學生在學習的過程中學會表達，對于數學知識的表征來說確實非常有益. 讓學生表達，說得通俗一點，就是讓學生將自己的思考過程“說出來”，這是一個用生活語言和數學語言表征自己數學知識建構與數學理解的過程. 仔細分析這一過程，其實可以發現其與數學學科發展的邏輯相通——數學的發展，即一個數學研究的過程不斷地用數學語言描述出來的過程. 讓學生表達時，可以“逼”著學生去完成數學語言的組織與數學邏輯關系的聯結. 比如，學生在“數軸”概念的構建過程中，通過表達會發現，不同學生用不同的語言（生活語言）描述自己所理解的方向不同. 那如何用一個統一的概括性語言呢？于是“正、負”就取代了“左、右”與“正、反”，但學生并不會因為這種語言的替代而心有遺憾，因為他們會發現不同語言背后的內涵是一樣的. 再如，后來到了“有理數的加法”這一課的教學中，在利用數軸尋找有理數的加法規則時，學生能夠順利地借助數軸概念構建過程中形成的數學語言，順利地表達自己所理解的5+3、（-5）+（-3）等，這種能力的遷移，可以反證此前數軸概念教學中學生表征的成功.

綜合以上兩點可以發現，培養學生表征能力的關鍵，在于學生在學習過程中自主性的發揮.

數學表征與核心素養

義務教育階段的數學學科核心素養到目前為止還沒有明確的界定，但根據高中數學的六個核心概念，與《義務教育數學課程標準》的十個核心概念可以管窺一二. 從數感的建立到符號意識的形成，從空間觀念的建構到幾何直觀的培養，從數據分析觀念的建立到運算能力的培養，從推理能力的訓練到模型思想的形成，從應用意識的強調到創新意識的激活，可以發現這十個概念可以作為對數學學科核心素養的有效概括，而在這其中，學生的數學表征又起著非常重要的作用.

從理論上的邏輯關系來看，這十個核心概念都指向數學學習的外在體現，即通過數學學習之后，學生在這十個方面要有所進益. 而數學表征作為對數學學習過程的有效表達，客觀上可以理解為核心素養的支柱. 從實踐的角度來看，這十個核心概念實際上只是學生學習過程的終極體現. 只有經過有效的學習，才談得上數感、符號意義及其他，而這個過程是由什么來表述的呢？顯然，數學表征是一個有效的衡量依據.

仍然可以通過一例來說明，在“從算式到方程”這一內容的學習中，同一個問題既可由算術方法來解決，也可由含有未知數的等式來解決，這兩種方法之間有什么聯系，有什么區別，哪種方法更好……這些問題就成為本課教學的重點，也是闡釋“從算式到方程”中“到”字的含義. “到”是一個過程，既是“算式”向“方程”過渡的過程，更是學生認知發展的過程. 在此之前，學生習慣以算式解決問題，而在此之后，意味著方程成為解決此類問題的第一選擇，這是認知方式的遞進. 從核心素養的角度來看，有符號意識的培養——方程在解決問題過程中的“正式使用”，意味著學生思維向“x”的轉變，也意味著問題表征方式的根本性轉變，從此之后，學生解決復雜問題幾乎是“言必稱x”……從這個角度講，核心素養不是一個空洞的概念，其就是一個實實在在的學生對數學學習表征不斷遞進的過程.

“為表征而教”是筆者在研究數學表征中的一個重要認識，總體而言，還是感覺有道理的. 再好的“教”也是為了促進學生的表征，一個數學概念或規律，只有被學生有效表征了，才能真正成為學生的知識，學生的數學核心素養培養也才會有一個堅實的基礎.endprint