淺談通過數形結合有效銜接算理與算法

陳雪香

【摘 要】當前出現的“重算法、輕算理”和“重算理、輕算法”兩個極端現象，都是由于沒有處理好算法與算理之間的關系。文章采用數形結合的方式，讓學生在感悟算理、理解算法的基礎上，將算理和算法進行有效銜接，做到既重算理又重算法。同時在應用數形結合策略時，要注意選用材料的貼切性、呈現時機的精確性、結合效果的深刻性和發揮學生的聯想能力，才能使數形結合在計算教學中起到重要作用。

【關鍵詞】小學數學；計算教學；數形結合；算理；算法

算理與算法是計算教學中有機統一的整體，形式上可分，實質上不可分，重算法必須重算理，重算理也要重算法；算理教學需借助直觀的形象，引導學生經歷自主探索、充分感悟的過程，但在要把握好算法提煉的時機和教學的“度”，為算法的形成與鞏固提供必要的練習保證。算法形成不能依賴形式上的模仿，而要依靠算理的透徹理解，只有在真正理解算理的基礎上掌握算法、形成計算技能，才能找到算理與算法的平衡點，為算理與算法的有效銜接服務。那么如何使算理與算法達到有效銜接呢？我們不妨采用數形結合的教學方法。

一、有效銜接算理與算法的策略

小學階段的學生，思維發展水平還不夠成熟，理解抽象的內容難度較大，但使用了數形結合的方法觀察、分析問題，有助于學生理解數學實質，有助于提高學生數學思維水平。教師應充分利用學生形象思維的特點大量地用“形”解釋、演示、幫助理解抽象的“數”。

（一）數形結合，感悟算理

數形結合不僅是一種數學思想，也是一種很好的教學方法。數學通常是比較抽象的，尤其是算理、概念等。而“數形結合”能使比較抽象的概念轉化為清晰、具體的事物，學生容易掌握和理解。在教學中，學生對許多算理都模棱兩可，如果能做到數形結合，學生便可透徹地加以理解。

如教學“20×3”時，學生說可以看作“2×3=6”來算，教師順勢引導，看成2，真的是2嗎？從而引出把20看成2個十，用數的組成將整十數乘一位數轉化為表內乘法，進行口算。即使轉換了計數單位，只是憑空說一下學生還是不能深刻感悟，于是老師再將計數單位以更直觀的小正方體來表示。課前老師就在學生頭腦中建立了“一列小正方體就是一個十，一面小正方體是一個百，一個大正方體就是一個千”這樣的表象。因而“20×3”就能化為兩列小正方體一組，有這樣3組一共是6列也就是60，從而有效地呈現了把“20×3”看成兩個十乘3的理論依據。再把這個方法類推至“200×3”和“2000×3”，通過直觀出示兩面小正方體表示200，兩個大正方體表示2000，讓學生去理解為什么都可以用先不看0，而看成“2×3”去做，再舉添上0這個方法去計算的原因。

通過將計數單位十、百、千轉換成一列小正方體、一面小正方體和一個大立方體的形式，學生深刻地理解為什么可以把這幾個算式都看成“2×3”，清晰地解釋了算理，也揭示了算法的合理性。

（二）數形結合，掌握算法

學生只有理解了算理，才能“創造”出計算的方法，從而正確地計算。算理是一個內在規律，但在進行計算時，不僅思維強度大，而且計算的速度很慢，要提高計算效率，就需要找計算的普遍規律，提煉出一個簡單的計算方法。

例如在教學《筆算多位數乘一位數（不進位）》中，學生已經知道“12×3”的算理實際就是3個2和3個10的和，因此教師引導學生：根據算理能不能把上面三個式子合并成一個豎式？從而引出乘法的原始豎式，再讓全體學生讀過程，加深對算理的理解。然后要求學生用原始的豎式進行練習，讓學生在習題中充分理解二位數乘一位數的算理。在學生對算理有一定理解的基礎上，引導學生對計算過程進行反思，啟發學生再思考，對算理進行提煉和“創造”，從而對上面的豎式進行簡化。通過對比進一步提煉出計算方法，用第二因數去乘第一個因數每一位上的數，再把所得的積加起來。

（三）數形結合，有效銜接

對學生而言，理解算理、構建算法注定是一個艱難跋涉的過程。在這一過程中，教師應起好引領作用。

首先要適時架橋鋪路，而不能跨越“中間地帶”。算理與算法之間有個緩沖的“中間地帶”，在這個“中間地帶”架橋鋪路，溝通直觀具體與抽象概括之間的聯系，能促進學生更好地建構算法；跨越這個“中間地帶”則不利于學生在理解算理的基礎上提取算法。在《口算乘法》的教學中，老師利用小立方體圖很好地將算理與算法結合起來，讓學生經歷了“小立方體圖——算理理解——算法歸納”這一教學流程，將算理與算法進行有效的鏈接，以小方體為載體充分理解算理，并且歸納算法。

其次要讓學生“來回穿行”，豐富體驗，而不是“替蝶破繭”，簡縮過程。在算理與算法的“緩沖區”，要提供充分的時間和空間讓學生“來回穿行”，豐富體驗，加深認識。如果簡縮這一過程，學生原有的理解與抽象的算法之間會出現斷層，算法建構與已有經驗無法建立一種實質性的聯系。如在《筆算乘法》一課中，老師在學生理解了豎式計算算理的基礎上，并沒有急于讓學生去接受規定的豎式格式，而是根據算理讓學生用原豎式進行計算，讓學生對算理有一個豐富的體驗。通過第一層次的練習體驗啟發學生思考根據算理能不能將算法進一步的簡化，由于有了豐富的體驗，學生都能將豎式計算的格式進行提煉和簡化，并在前后對比中，主動構建出簡便的計算方法。

最后，尊重學生，因勢利導，而不能硬性嵌入。在算理與算法鏈接時，要充分尊重學生的理解和選擇，適時因勢利導，組織學生進行比較、交流、反思等。不能把自己的觀點強加給學生，把自己認為好的方法硬性嵌入學生的認知結構。這種硬性嫁接只能為學生的認識留下“硬傷”，不利于學生認知結構的完善。例如在教學《口算乘法》時，教學完“20×3=60”可以用“20+20+20=60”去做后，也可以用轉換成“2個十”×3=“6個十”去想。這里老師并沒有急于將方法進行統一，而是再次用喜歡的方法做一做：“20×9”、“70×8”。在方法對比中讓學生自主選擇，逐步明白“2個十”×9=“18個十”，“7個十”×8=“56個十”，比用“20+20+20+20+20+20+20+20+20=180，70+70+70+70+70+70+70+70=560”來得更方便。從而使計算方法成為學生內心自主選擇的一個過程，而不是教師強加給學生的。

二、數形結合有效銜接算理與算法策略應用的注意點

（一）數形結合，“形”與“數”結合材料選擇的貼切性

材料的選擇要符合學生的認知規律和思維發展程度。比如低年級學生適合用小棒圖、實物圖、小立方體圖來承載算理和算法。因為低段學生直觀形象思維的主導地位決定了大部分數學知識學習需要“形”的支撐。而高年級則適宜用線段圖、線軸圖等“形代替實物”的“形呈現”，培養學生掌握數形結合的表現形式。隨著年齡段的提升，所選用的形也應該從實物過渡到“形代替實物”，逐步提升形的抽象度，培養學生的邏輯思維能力。

（二）數形結合，“數”與“形”的先后呈現時機的精確性

數形結合中“數”與“形”的呈現順序是先“形”后“數”，還是先“數”后“形”應根據學生思維的發展特點而定，根據教材的階段性而定。“形”的出現是在學生計算有困難或者對知識不理解的情況下，再化數為形，讓學生通過數形結合來理解算理和掌握算法。太早，對知識的感悟不夠深刻，沒有一種內心的需求。太晚，則會體現“形”的實際價值，使數形結合流于形式。因此，呈現的時機，還要經過反復的思量，力求做到在對的時間，遇見對的形式。

（三）數形結合，發揮“數”與“形”聯系效果的深刻性

注重在課堂教學中對學生數形結合學習方式的應用指導，教師出示了數形結合的情境時，應該提供適當的問題，創設必要的活動，引發學生思考，指引學生思維的方向。教師應充分利用學生形象思維的特點，大量地用“形”解釋、演示、幫助理解抽象的“數”。數與形的結合是教師和學生學習數學的一種思想方法，兩者不能截然分開，兩種都是符號，要做到數中有形，形中有數，讓學生寓知識于活動之中，以形思數，幫助記憶。

（四）數形結合，充分發揮學生的聯想能力

聯想是問題轉化的橋梁，是一種自覺的和有目的的想象，是由當前感知或思考的事物，想起有關的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活動。培養學生聯想能力，對提高學生數形結合能力有較大的作用，通過聯想、操作，感受數與形的密切聯系，領悟數形結合的方法。endprint