數(shù)學(xué)思想方法，理解性學(xué)習(xí)的綠色通道

葉海英　潘旭東

[摘 要]數(shù)學(xué)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，能有效促進(jìn)學(xué)生理解性學(xué)習(xí)。提高學(xué)生的理解力能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與理解。“數(shù)與形”是“數(shù)學(xué)廣角”里的內(nèi)容，教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化過程，讓學(xué)生真切地體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)與形；數(shù)學(xué)思想方法；理解力

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）23-0008-04

【目標(biāo)預(yù)設(shè)】

1.通過觀察與思考，讓學(xué)生充分感知數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系。

2.在問題解決的過程中讓學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。

【教學(xué)流程】

一、回顧形與形、數(shù)與數(shù)的聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生思考

師：我們是怎樣推導(dǎo)平行四邊形面積公式的？

生1：把平行四邊形沿著一條高剪開后，拼成一個(gè)長方形，求出長方形的面積就得到平行四邊形的面積。

師：怎么計(jì)算+？

生2：先通分，轉(zhuǎn)化成同分母后再計(jì)算。

師（小結(jié)）：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，是形與形的轉(zhuǎn)化；把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化。無論是形與形的轉(zhuǎn)化，還是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化，都是為了方便我們解決問題。那么數(shù)與形能不能互相轉(zhuǎn)化，數(shù)與形之間有沒有關(guān)系呢？今天這節(jié)課我們就一起來研究“數(shù)與形”。

【評(píng)析】通過復(fù)習(xí)推導(dǎo)平行四邊形面積公式的方法及異分母分?jǐn)?shù)加減法的方法，喚起學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生明白形與形之間和數(shù)與數(shù)之間都可以互相轉(zhuǎn)化。此時(shí)，教師自然地提出問題，引發(fā)學(xué)生思考：數(shù)與形能不能互相轉(zhuǎn)化，它們之間有沒有關(guān)系？讓學(xué)生圍繞這一基本問題展開探究和學(xué)習(xí)。

二、體會(huì)形中有數(shù)、數(shù)中有形，數(shù)形相關(guān)

1.探究圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)，體會(huì)形中有數(shù)

師：你發(fā)現(xiàn)圖1中四個(gè)圖形之間的規(guī)律了嗎？請(qǐng)用數(shù)或式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（學(xué)生思考，教師巡視并收集三種不同的表達(dá)方式，然后全班交流）

生1：我是用數(shù)“1、4、9、16”來表示的。第一個(gè)圖形有1個(gè)小正方形，第二個(gè)圖形有4個(gè)小正方形，第三個(gè)圖形有9個(gè)小正方形，第四個(gè)圖形有16個(gè)小正方形。

生2：我是從正方形的邊長入手找規(guī)律的。一個(gè)小正方形的邊長是1，那第一個(gè)圖形就是（1×1），第二個(gè)圖形就是（2×2），后面兩個(gè)圖形分別是3×3和4×4。

生3：我用算式“1，1+3，1+3+5，1+3+5+7”來表示。第一個(gè)圖形用“1”表示，第二個(gè)圖形是在第一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了3個(gè)小正方形，第三個(gè)圖形是在第二個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了5個(gè)小正方形，第四個(gè)圖形是在第三個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了7個(gè)小正方形。

師（追問）：你們能理解生3給出的規(guī)律嗎？第四個(gè)圖形中的1、3、5、7分別是什么？請(qǐng)指一指。

（教師結(jié)合學(xué)生的發(fā)言，用不同顏色的筆在圖形中標(biāo)記3、5、7對(duì)應(yīng)的位置）

師：這幾種觀察規(guī)律的角度有什么不一樣的地方？

生4：生1從小正方形的數(shù)量來觀察，生2從圖形的邊長來觀察，生3是從圖形增加的個(gè)數(shù)來觀察的。

師（小結(jié)）：同一組圖形，盡管觀察的角度不同，但是我們都找到了數(shù)的影子。

2.探究算式對(duì)應(yīng)的圖形，體會(huì)數(shù)中有形

師：生3給出的規(guī)律比較難理解，我們?cè)龠M(jìn)一步研究。

師：沿著1+3+5+7這個(gè)規(guī)律繼續(xù)思考，1+3+5+7+9+11+13對(duì)應(yīng)的圖形會(huì)是什么樣子的？

（學(xué)生小組討論后交流）

生5：對(duì)應(yīng)的是邊長為7的正方形。因?yàn)椋?3+1）÷2=7，所以得到邊長為7的正方形。

生6：因?yàn)?+3=4，就是2的平方；1+3+5=9，就是3的平方。以此類推，“1、3、5、7”4個(gè)數(shù)相加的和是4的平方，“1、3、5、7、9”5個(gè)數(shù)相加的和是5的平方，“1+3+5+7+9+11+13”中有7個(gè)數(shù)，就是邊長為7的正方形。

師：請(qǐng)?zhí)顚懀?）=102。

生7：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102，答案是從1開始的連續(xù)10個(gè)奇數(shù)相加。

師：回顧剛才的探究過程，我們?cè)趫D中想到了數(shù)，在數(shù)中想到了圖，那數(shù)與形有關(guān)系嗎？

生（齊）：有。

師：是的，數(shù)中有形、形中有數(shù)，數(shù)與形之間確實(shí)有關(guān)系，那么到底有怎樣的關(guān)系呢？我們繼續(xù)探究。

【評(píng)析】教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察同一幅“正方形方格圖”，通過看一看、說一說、比一比、想一想等活動(dòng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生體會(huì)“形”中有“數(shù)或算式”，然后引導(dǎo)學(xué)生想象1+3+5+7+9+11+13這個(gè)式子對(duì)應(yīng)的圖形是什么樣子，讓學(xué)生感悟“數(shù)或算式”也可以用“形”來表示，初步感知數(shù)與形的完美結(jié)合。這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生在觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、想象、推理等過程中經(jīng)歷“數(shù)與形”的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化和結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)基本思想和方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的魅力。

三、體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助

生2：我發(fā)現(xiàn)后面還有一個(gè)省略號(hào)，說明后面還有很多很多的數(shù)，有無數(shù)個(gè)這樣的數(shù)相加。

師：和是多少呢？

（大多數(shù)學(xué)生感到茫然）

師：沒感覺是嗎？我們可以借助圖形找找感覺。

（請(qǐng)學(xué)生拿出教師課前發(fā)的練習(xí)紙，紙上畫了一個(gè)圓形、一個(gè)正方形和一條線段）

師：請(qǐng)從一個(gè)圓形、一個(gè)正方形和一條線段中任選一個(gè)，然后在你選擇的圖形中找到它的，在的基礎(chǔ)上加上它的，再加上它的，按算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。先獨(dú)立操作，然后小組交流，最后派代表展示。

生3：我先把一個(gè)圓形平均分成2份，找到其中的一份涂上顏色，再把另外一份平均分成2份，也就是整個(gè)圓形的，然后繼續(xù)平分，一直加到。如果再一直加下去，空白部分會(huì)越來越小，但是總有一點(diǎn)點(diǎn)空出來。

生4：我是利用線段來找的，一直加下去，和會(huì)越來越接近1，但不等于1。

師：我用正方形來演示。

師（一邊演示一邊問）：按這樣的規(guī)律加下去，和是多少？

生5：無限接近1，但不等于1。

生6：加上無窮無盡的數(shù)應(yīng)該等于1。

師：有的同學(xué)認(rèn)為結(jié)果等于1；有的同學(xué)認(rèn)為結(jié)果越來越接近1，但不等于1，與1差了那么一點(diǎn)點(diǎn)。意見不統(tǒng)一！不著急得到最終的結(jié)果，先來看看你們?cè)诋媹D中的收獲。通過畫圖，我們知道了這個(gè)式子的和與幾有關(guān)？

生（齊）：與“1”有關(guān)。

師：無論是認(rèn)為等于1，還是認(rèn)為和1差一點(diǎn)，起碼我們有了方向——結(jié)果與“1”有關(guān)系。這就是畫圖的好處，它能幫助我們找到一種感覺、一個(gè)方向。但是，我們還有困惑，結(jié)果到底等于1，還是接近1？你們覺得畫圖能回答這個(gè)問題嗎？

生（齊）：不能。

師：這就是畫圖的缺陷，它不能準(zhǔn)確地、精細(xì)化地表示結(jié)果。當(dāng)畫圖解決不了問題時(shí)，我們可以用數(shù)來進(jìn)行推理。既然“和”與1有關(guān)，我們從1開始想。

師：讓我們回顧剛才的探究過程。剛開始大家看到這樣一個(gè)算式，不知道等于幾。是誰幫助我們找到了感覺，找到了“和”與1有關(guān)系？是的，圖形幫助我們發(fā)現(xiàn)，按照這樣的規(guī)律加下去，“和”越來越接近1，甚至有同學(xué)想到等于1。當(dāng)圖形不能精確地表示出“和”到底是等于1，還是接近1的時(shí)候，誰又幫助我們找到了準(zhǔn)確結(jié)果？

生（齊）：數(shù)。

師：是的，數(shù)又幫助我們通過推理得出“和”就等于1。你們覺得數(shù)和形之間有著怎樣的關(guān)系呢？

生9：密不可分的關(guān)系。

生10：數(shù)與形可以互相幫助。

師：關(guān)系非常密切，你中有我，我中有你，互相幫助。其實(shí)，在我們以前的學(xué)習(xí)中，就有很多地方都體現(xiàn)了數(shù)形之間互相幫助的特點(diǎn)。

【評(píng)析】課本的例2是一道無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，這道題對(duì)學(xué)生來說非常抽象，不易理解。到底和等于多少？在激起學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與愿望后，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形解決問題，讓學(xué)生在圖中找答案，學(xué)生借助這些直觀的“形”發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式的結(jié)果好像是1，好像又不是1。因?yàn)橥ㄟ^直觀圖可以看到，無論怎么分割下去，圖中好像總有“剩余部分”。但就在這個(gè)畫圖的過程中，學(xué)生借助直觀圖發(fā)現(xiàn)該算式的結(jié)果應(yīng)該與“1”有關(guān)。可見，直觀圖給求解抽象算式的任務(wù)指明了大方向。

師：我們一起回憶，利用長方形模型可以幫助我們理解分?jǐn)?shù)乘法的算理；利用線段圖可以幫助我們理解分?jǐn)?shù)除法的算理；學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，因?yàn)橛辛硕葦?shù)，我們就可以準(zhǔn)確地說出89°是一個(gè)銳角，盡管它與直角很像。兩條平行線之間距離都是2cm，說明這兩條直線互相平行。這些例子都體現(xiàn)出數(shù)與形之間的互相幫助。

師：我國一位非常有名的數(shù)學(xué)家華羅庚很早就說過這樣的話：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”將數(shù)、形結(jié)合起來就能很好地解決數(shù)學(xué)問題，數(shù)形結(jié)合也是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。

【評(píng)析】教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，讓學(xué)生感受到“數(shù)與形”并不陌生，使學(xué)生真正體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助的關(guān)系。最后引用數(shù)學(xué)家華羅庚的話，讓學(xué)生和數(shù)學(xué)家產(chǎn)生共鳴，在得到數(shù)學(xué)文化的熏陶的同時(shí)進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值。

四、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

師：你能利用圖3找出（a+b）2和a2+2ab+b2的關(guān)系嗎？

生1：（a+b）2表示大正方形的邊長乘邊長，就是大正方形的面積，把這個(gè)大正方形分割成四個(gè)部分，其中有兩個(gè)部分都是正方形，面積分別是a2和b2，另外兩個(gè)部分是長方形，它們面積相等，面積的和是2ab，因此可以推導(dǎo)出（a+b）2=a2+2ab+b2。

師：圖4是同樣的一個(gè)正方形，如果這樣分割，你能求出這個(gè)圖形的面積嗎？

生2：面積是c2+2ab。

生3：圖3和圖4的面積相等，得到a2+2ab+b2=c2+2ab，等式兩邊同時(shí)減2ab，得到a2+b2=c2。

師：通過數(shù)形結(jié)合，我們得到了初中時(shí)會(huì)學(xué)到的完全平方公式和勾股定理，再一次證明了“數(shù)形結(jié)合百般好”這句話。

五、課堂小結(jié)

師：今天學(xué)習(xí)的數(shù)與形，只是幫我們打開了一扇窗，更多數(shù)與形的知識(shí)還在等待同學(xué)們?nèi)ヌ骄俊Ｈ绻蠹矣辛藬?shù)與形的意識(shí)，相信以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)更精彩。

【總評(píng)】

學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合的思想就一直伴隨他們左右，所以學(xué)生已經(jīng)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的教學(xué)把數(shù)形結(jié)合的思想作為核心教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際意義。

1.提煉基本問題，引領(lǐng)學(xué)生思考

“提問”是教師引領(lǐng)學(xué)生思考的重要手段。本節(jié)課圍繞“數(shù)與形之間有沒有關(guān)系？”“數(shù)與形到底有怎樣的關(guān)系呢？”這些基本問題展開教與學(xué)的互動(dòng)，學(xué)生自主探究，在經(jīng)歷觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、想象、推理等活動(dòng)后，能夠感受數(shù)與形密不可分的關(guān)系。在學(xué)習(xí)完例2后，教師引領(lǐng)學(xué)生思考：“數(shù)與形有怎樣的關(guān)系呢？”因?yàn)橛辛饲懊娴挠懻摻涣鳎瑢W(xué)生的回答十分精彩：“這兩個(gè)是相互依賴的關(guān)系”“相互牽連的關(guān)系”“密不可分的關(guān)系”“互相幫助的關(guān)系”。

2.細(xì)化教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生感悟

事實(shí)表明，有效的教學(xué)必然需要將課時(shí)目標(biāo)細(xì)化，讓環(huán)節(jié)目標(biāo)層層落實(shí)、步步深入。本節(jié)課的目標(biāo)分為兩個(gè)層次：第一層次，體會(huì)形中有數(shù)、數(shù)中有形，數(shù)形相關(guān)；第二層次，體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形，數(shù)形互助。本節(jié)課的目標(biāo)是立體的，聚焦“數(shù)形結(jié)合”思想之外，我們看到了“運(yùn)算能力”“空間觀念”“極限思想”“歸納推理”等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透，看到了“事物是普遍聯(lián)系的”哲學(xué)思想的滲透。隨著環(huán)節(jié)的層層深入，學(xué)生的感悟也是層級(jí)遞進(jìn)的。

3.精選學(xué)習(xí)素材，豐富學(xué)生體驗(yàn)

為了讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合，除了教材例題外，教師增加了大量素材，既有以前學(xué)過的例子，又有新的問題，如：“×”“2÷”“平行線之間的距離相等”“89°角”等。通過多素材、多層次的分析交流，學(xué)生對(duì)于“數(shù)與形有緊密聯(lián)系”的感受更為充分。不僅如此，不同的素材又指向于不同目的，有些是“以形助數(shù)”，有些是“以數(shù)助形”。最后練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決了初中才學(xué)習(xí)的“完全平方公式”與“勾股定理”。如此巧妙貼切的設(shè)計(jì)，令人耳目一新。

（責(zé)編 金 鈴）