復積分的求法

鄧琴++楊建芳

【摘要】本文主要研究復積分的求法，對復積分的求法做了較系統的歸納總結，給出了五種常用的方法和技巧.

【關鍵詞】復積分；復變函數；留數

【基金項目】杭州電子科技大學2014年高等教育研究資助項目（YB1425）.

一、五種常用的方法

復積分的求法是復變函數中的重點和難點.復積分的求解方法靈活多樣，而且目前的教科書對復積分的求法沒有做較系統的歸納.本文主要研究積分曲線為封閉曲線的復積分的求法，對其求法做較系統的歸納總結，給出五種常用方法.

1.利用柯西-古薩基本定理求復積分.

2.利用復合閉路定理求復積分.

3.利用柯西積分公式求復積分.

4.利用解析函數的高階導數公式求復積分.

5.利用留數定理求復積分.

當被積函數在積分曲線內沒有奇點時用柯西-古薩基本定理求復積分.當被積函數在積分曲線內有一個奇點時用柯西積分公式或高階導數公式求復積分.當被積函數在積分曲線內有2個或2個以上的有限個奇點時用復合閉路定理求復積分.

二、應用舉例

三、小結

在計算沿封閉路線的積分時，我們常以柯西-古薩基本定理、復合閉路定理、閉路變形原理為依據，以柯西積分公式、高階導數公式為主要工具.由于被積函數往往形式多樣，有時還比較復雜，所以常常不能直接套用某個公式就能奏效，而需將被積函數做適當的變形，例如，把它化為部分分式或公式中的形式，然后聯合使用這些定理、公式和積分性質才能解決.

【參考文獻】

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[4]孫清華.復變函數內容、方法與技巧[M].武漢：華中科技出版社，2003.