理解教材 立足學生 注重過程 揭示本質

林虹

摘 要：概念是思維的細胞。概念教學時要體現概念產生的背景，突出概念的發生與發展，注重概念教學的核心——概況，揭示數學概念中所蘊涵的思想方法，促進學生對概念的實質性理解。通過對實際問題“數學化”的過程，積累的學生活動經驗，提升學生的思維能力，增強學生的應用意識。

關鍵詞：初中數學；概念教學；思想方法；類比概括

概念是思維的細胞。“數學根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也”！因此，我們必須十分重視基本概念的教學，在核心概念的教學上更要做到“不惜時，不惜力”[1]。然而，當前“一個定義，三項注意”、“掐頭去尾燒中段”、“概念教學=解題教學”、“照本宣科+模仿訓練”等數學概念教學方式屢見不鮮。這些重“結果”輕“過程”的教學方式，沒有概念產生的背景，沒有概念的概括過程，忽視概念所蘊涵的數學思想方法，失去了學生發展能力與個性的機會，這是教育功利化在數學課堂上的集中表現。筆者曾聽過張林老師執教的《二元一次方程》，該課充分體現數學概念教學的實質。

一、抓住課堂導入展示概念背景

課堂教學導入，是在新的教學內容開展之前，引導學生進入學習狀態的教學行為。高爾基說過“文章的開頭為定調，一定要好。雅沙菲茲的小提琴第一個音符就準確，悅耳動聽。”教學亦然，好的導入，好比一把鑰匙，開啟著學生的心扉，達到“課未始，興已濃”的良好狀態。張老師是這樣設計的：

問題1：某市在暑假期間組織了中學生籃球聯賽，比賽規則是：贏一場得3分，輸一場得1分；

（1）一支球隊在聯賽中共積20分，其中輸了5場，若設該隊贏了x場；請列出方程 .

（2）若沒有輸5場，能列出方程嗎？

（3）一支球隊在聯賽中共積20分，若設該隊贏了x場，輸了y場；請列出方程 .

問題2：初一（7）班有18名學生相約到公園劃船，需要租用船只，公園有A、B兩種型號的船，A型船可以坐2人，B型船可以坐3人，每艘船都坐滿，若設A型船租了x艘，B型船租了y艘；請列出方程 .

問題3：上述三個方程中有你們熟悉的方程嗎？是什么方程？

該導入以學生熟悉的情境為載體，從列一元一次方程著手，提出問題，讓學生體會到生活中有不能用一元一次方程解決的實際問題，它可以用含兩個未知數的方程表示，引出新知.這個教學片段體現了“二元一次方程”產生的背景，它讓學生經歷了“數學化”過程，感知“二元一次方程”是在學習了“一元一次方程”的基礎上，為滿足解決某些實際問題和進一步學習數學的需要提出的，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，使學生產生必需學習這一新知的心理。兩個新方程與學生原有的認知結構不符，給學生心理上造成一種強烈的沖擊，使他們對所講內容產生一種急于追下去的心理。這個情境就像一粒小石子，雖然小，卻可以擊中學生的“心潮”，激起朵朵漣漪，形成了“波才動萬波隨”的局面。

二、提供認知框架凸顯教學思想

本節課是單元起始課，老師們一般都是單刀直入，直接進入二元一次方程概念的探索，忽略了起始課所承載的教育價值和作用，有“見木不見林”的弊端，容易造成被動學習的局面，學生獨立思考、自主探究的機會大大減少。張老師通過高立意低起點的教學設計有效地彌補這一缺陷。

問題1：我們研究了“一元一次方程”的哪些內容？

問題2：類比一元一次方程的研究，能勾畫一下“二元一次方程”研究的問題、過程和方法嗎？

美國教育心理學家奧蘇泊爾提出：先于學習任務本身呈現的一種引導性材料，它要比原學習任務本身具有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認知結構中原有的觀念和新的學習任務關聯，為新知識的學習提供認知框架。由于數學學習的抽象性和形式化，數學的引導性材料除了要求保持應有的綜合性外，還應盡可能地使用具體、形象的語言，用最基本的常識性的概念來勾勒整體輪廓，使學生獲得一個總體印象。該設計從這一理論出發，以一元一次方程為起點，通過類比提供了二元一次方程的認知框架，讓學生對本章的研究內容有一個整體認識，在后續研究中能夠“見木見林”。它使學生明確數學中研究一個問題的“基本套路”，是對思想方法的追索。在一個章節、一個單元的起始階段，引導學生先從整體上概括地思考一下研究的內容和方法，不僅對學生領領悟數學思想方法有作用，而且對培養學生的創新精神和實踐能力也有積極意義。

三、類比新舊知識提升概括能力

初中數學中有些概念具有類似性，它們在結構和特征上有著共同點和相似處。因此可用與舊概念類比的方法引入新概念，突出知識間的聯系，有利于學生掌握的系統性及內在聯系。張老師是這樣處理二元一次方程概念教學的：

問題1：方程3x+y=20、2x+3y=18有怎樣的共同點？

問題2：方程3x+xy=20有以上的共同點嗎？它與前兩個方程有無區別？若有，區別是什么？

問題3：類比一元一次方程的定義，大家試著給二元一次方程下定義。

問題4：一元一次方程與一元二次方程有何聯系與區別？

這一設計由問題1概括出有兩個未知數、未知數的次數是1、都是整式方程的共同屬性，問題2激發學生對“項的次數”的思考，完善學生對兩個新方程共性的概括。接著與一元一次方程的概念類比，得出二元一次方程的概念。它滲透了類比、特殊到一般的數學思想，有利于學生掌握知識的系統性及內在聯系，促進了學生對二元一次方程概念的實質性理解，使學生的概括能力進一步得以提升。它符合教育與發展心理學提出的觀點：數學概念教學的核心就是“概括”，就是將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生分析各事例的屬性、抽象概括其共同本質屬性、歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念。

四、找準思維起點 提升思維品質

美國教育心理學家奧蘇伯爾曾指出“影響學習唯一最重要的因素是學生已經知道了什么，要探明這一點，并應就此進行教學”。學生的學習過程是在教師的引導下的自我建構、自我生成的過程，其基礎是學生原有的知識與經驗，學生原有的知識與經驗是教學活動的起點。張老師充分認識學生原有的知識水平，借助于學生已有的知識儲備，展開二元一次方程解的教學。endprint

問題1：已知一元一次方程2x+1=9，它的解為 。如何判斷該答案是否正確？

問題2：下面兩對數值，能使二元一次方程2x+y=9兩邊的值相等是 。（填序號）①x=2，y=5②x=-5，y=1

問題3：這樣，適合二元一次方程的一對未知數的值叫做二元一次方程的一組解。二元一次方程2x+y=9的解除了x=2，y=5，你還能寫出其它的解嗎？（一半的學生上黑板寫，另一半上前批改）

問題4：如何判斷書寫的答案是否正確？如何書寫的？

問題5：展示書寫方法：當x=1時，2×1+y=9，移項得y=9-2，y=7；當x=2時，2×2+y=9，移項得y=9-4，y=5；當x=3時，2×3+y=9，移項得y=9-6，y=3……

你能把該方法簡化嗎？

（先移2x項，得y=9-2x，再取x的值代入計算）

張老師準確把握了學生已有的數學認知結構，明確新內容與已有數學認知結構之間的關系。從已有的知識經驗“一元一次方程的解”中尋找切入點，引導學生獨立思考、主動探索，得出二元一次方程的解的定義。為了揭示二元一次方程有無數組解的特征，他設置的問題3簡單又開放，帶有一定的挑戰性。學生在高漲的情緒中，通過自己的親身經歷體會到“二元一次方程有無數組解”，這一新知的教學水到渠成、自然流暢。問題4、5，引導學生透過表面現象看本質，最終得出“把二元一次方程中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示”。這是一個“低起點，高落點”的探索活動，它讓每一位學生都有事可做、有話可說，既照顧到個性差異，又容易誘發遷移，能使學生在不經意間攀登到知識方法的巔峰。它真正落實了《新課標》中倡導的“教師為主導，學生為主體”的教學原則。

五、解決實際問題 增強應用意識

《數學新課程標準》指出：為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識。應用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中問題；另一方面，認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。

問題初一（7）班有18名學生相約到公園劃船，需要租用船只，公園有A、B兩種型號的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐滿。若設A型船租了x艘，B型船租了y艘；①請列出方程：2x+3y=18；②求出這個方程所有的解；③共有幾種租船方案。

通過以上問題的解決，使學生感悟數學不是“枯燥”的，而是有“價值”的。它進一步培養了學生用數學眼光看問題、用數學頭腦想問題的能力，增強了用數學知識解決實際問題的意識，進一步明了數學來源于生活，又服務于生活。

總之，張老師的這一節概念課，從二元一次方程產生的背景出發，揭示其蘊涵的數學思想，促進學生對概念的實質性理解。它遵從了學生的一般認知規律，使學生的學習始終處于一種自然生成的狀態，新知識的發生、形成、應用，不是教師強加于學生的，它是一節高效的概念課。

參考文獻：

[1]李邦河.數的概念發展[J].數學通報，2009，48（8）

[2]章建躍.中學數學課改的十個論題（續）[J].中學數學教學參考，2010（3）：2-5

[3]中華人民共和國教育部制定.初中數學新課程標準（2011版）[M].endprint