發散思維和聚合思維在數學教學的結合培養

【摘要】數學本身是立足于激發聯想、開拓創新的一門應用學科，學習數學需要具有嚴謹的邏輯思維和豐富的想象力。而傳統的教學中存在一系列問題，導致教師在教學中仍然選擇“題海戰”，嚴重制約了學習者的思考空間。針對這一情況，本文以具體初中教學為例，結合最新的中考命題，就如何在日常教學中培養學生發散性思維和聚合思維的融合運用展開探討。

【關鍵詞】發散思維 聚合思維 運用 培養

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）17-0148-02

引言

時代在進步，教育在發展。新世紀的教育，特別重視學生多維智力的發展，也就是立體思維的培養。立體思維也可稱為空間思維、整體思維，是縱橫統一，全方位去思考的思維方式。這種思維不受限制，由外到內多角度去觀察思考問題，并克服思想的片面性，從而拓寬創新之路。有心理學家曾出這樣的一道題：在一塊地上種四棵樹，要求樹與樹之間的距離相等。結果受試的學生無論畫什么形狀的四邊形都得不到答案。后來心理學家給出答案：可以將其中一棵樹種在山頂上！只要這樣，其余的三棵樹就可以與它構成正四面體，符合等距離。這些學生就是因為沒有學會靈活運用創造性方法——立體思維法。影響這個立體思維的因素是創造思維，創造就需要各種思維的運用，包括左腦的推理、分析、歸納、總結等邏輯思維和右腦的聯想、摸擬、想象等形象思維。盡管創造的過程是多么復雜，最終還是發散思維與聚合思維這兩種對立思維起的核心和關鍵作用，是難分難解的兩種思維方式。因而，我們在教學過程中要積極培養學生科學合理地運用發散思維與聚合思維。

一、發散思維與聚合思維的運用方式

發散與聚合是思維的兩翼，方向雖然不同，但都是為了更好地找到一個最合理、最佳的答案或結論。這兩種相反方向的思維，一個由中心向外擴散，一個往中心里聚集。發散思維是在一段時期內朝著多種方向不拘一格地去探尋各種不同的答案及途徑；它表現自由發揮，視野廣闊，新穎獨特。聚合思維是由已知的命題或事實為起點，有方向、有條理的收斂；或是從不同來源、不同層次、不同材料探求出正確的答案；它遵循嚴謹周密、實事求是、重視驗證。兩種思維都是相輔相成、密切聯系的，都是解決問題不可缺少的。發散思維給聚合思維提供廣闊的信息之源，聚合思維反過來為發散思維提供科學的依據，使發散思維不會變成胡編濫造。在日常的數學教學思維中，兩者是交叉并存的。例如，當面對一道要提供一個答案的填空題時，就會有若干個聯想產生——發散；當陳述完題目，明白了題意和需要填的性質或形式——聚合；然后，思考可能出現的幾個答案——發散；最后，逐個加以驗證，放棄不合適的設想，選取其中最符合要求的答案——聚合?？梢?，發散思維和聚合思維在數學探索問題答案思維過程中是緊密聯系交替使用、缺一不可的。因而，我們教師在傳授知識時，既要重視培養學生的發散思維，又不能忽視聚合思維的培養，這樣才能更好地促進學生創新的思維發展，提高學習的實踐能力。

二、發散性思維和聚合思維在數學教學的培養

在數學教學中，合理運用發散思維與聚合思維可以有效地幫助學生樹立科學的抽象思維和推理能力，培養學生創造性思維。因而，如何有效培養學生的發散、聚合思維能力的運用是值得我們進一步去探討。下文在課本的基礎上，選用數學中考題目為例探究有關的培養方法。

㈠“一題多考”培養發散思維和聚合思維的深刻性

隨著新課改的推進，中考試題涉及面越來越廣，形式多變，而且越加注重考查學生的應變力和理解力。中考數學試題逐步表現出素材廣、形式多、花樣新的特點，更加著眼于對學生的應變能力和潛能的考查。這類問題多見于開放性的題型，每年開放性的試題成為了各地命題的焦點，“一題多考”恰恰是培養學生運用發散思維和聚合思維解答這類試題能力的有效方法。

如填空題：（2013 浙江省義烏市）14.如圖，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE（不標注新的字母，不添加新的線段）.你添加的條件是_______。

（2013 湖南省常德市）請寫一個圖像在第二，四象限的反比例函數解析式：_________。

開放性題型是各地中考?？碱}型，此類題型答案不唯一固定，是發散性思維的具體表現。但解答時卻必須知道題目所考的知識點，根據相關理論作答，這又需要聚合思維。在廣州近五年中考中，此類的題目考得相當多，近年來直接放在最后兩題來考。下表對近5年廣州中考開放性題目做了一個統計：

從表中可以看到，題目放置越來越后，2016甚至把這個問題直接放到壓軸題了。雖然是最后一問，但題目并不是“高不可攀”的，我們可以嘗試用聚合思維先引導學生以畫圖入手，敢于觸碰，題目取分的可能性就加大了。以考題為例：

【例1】25.如圖10，點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B、D重合），∠ACB=∠ABD=45°。

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

（2）連接CD，求證：AC=BC+CD

（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論。

面對第（3）問，學生最容易聯想到的是勾股定理。但當把圖形構造起來后，學生馬上會發現三條線段中以DM為最長，但這三條線段不在同一三角形中，無法構成直角三角形。我們就要引導學生發散思維聯想運用所學的知識，然后把思維聚合回來考慮線段等量代換方法。類似的問題，在我們的教材中其實有很多體現。

【例2】（九年級教材）已知如圖所示，AB是O的直徑，C、D是半圓弧上的兩點，E是AB上除O外的一點，AC與DE相交于點F，①AD=CD；②DE⊥AB；③AF=DF。

⑴寫出以“①②③中的任意兩個為條件，推出第三個（結論）”的一個正確命題，并加以證明；

⑵以“①②③中的任意兩個為條件，推出第三個（結論）”可以組成多少個正確的命題？

我們不妨可以發散思維把題目條件“C、D是半圓弧上的兩點”稍作改動為“C、D是圓上的兩點”。兩個問題對比之下，學生就很容易發現題目要進行分類討論，將思維聚合求出正確答案。同一問題，不同角度進行思索，改變學生“死記硬背”的思考模式，“一題多考”能進一步挖掘出題目深度。

㈡“一題巧解”培養發散思維和聚合思維的靈活性

“一題巧解”是老師們喜歡的解題方式，也是激發學生學習興趣的有效方法。在探索不同的解答過程中，往往能碰撞學生思維的火花，收到意外驚喜。在解題過程中，思維發散尋求不同解答，再思維聚合對多種思路進行鑒別與篩選。

【例3】 （2016廣州）8.若一次函數y=ax+b的圖像經過第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是（ C ）

（A）ab>0 （B）a-b>0 （C）a2+b>0 （D）a+b>0

解析：本題考查了一次函數性質、不等式及其性質。

解法1：利用條件“一次函數y=ax+b的圖像經過第一、二、四象限”畫出對應函數圖像，由此判斷得出：a<0，b>0，然后分別計算ab<0，a-b<0，a+b結果不確定。而C選項中，a2>0，所以a2+b>0必定成立。

解法2：同樣根據條件“一次函數y=ax+b的圖像經過第一、二、四象限”，設a=-1，b=1分別代入選項，檢驗正確性，顯然只有C是正確的。

【例4】 （2016廣州）23.如圖9，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+3與x軸交于點C，與直線AD交于點A（），點D的坐標為（0，1）。

（1）求直線AD的解析式；

（2）直線AD與x軸交于點B，若點E是直線AD上一動點（不與點B重合），當△BOD與△BCE相似時，求點E的坐標。

不斷尋求新的解題方法，從而找到更好、更簡、更巧、更美的解法，能使各個知識之間得到更好的縱橫聯系，更好地培養學生的發散、聚合思維和創新能力。

㈢“變式訓練”培養發散思維和聚合思維的廣闊性

簡單地把類似的題目堆砌在一起，然后讓學生重復練習，這種做法毫無意義，是在走回頭路，實際就是陷入題海戰，學生只會越學越乏味?，F所提的“變式訓練”是舊名詞，新做法。變式就是要抓住問題的本質，通過變換思維發散，引導學生掌握變異規律，再把思維適當聚合運用所學的知識點解決新問題。新的教材對這一觀點做了生動的詮釋，如人教版《數學 七年級 下冊》P5。在引入了垂線的定義后，課本拋出探究的空間，由此引發學生尋找“垂線段最短”這一公理。以下借助中考題探索變式訓練。

【例5】（2016廣州）18.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AB=AO，求∠ABD的度數.

變式：圖中，條件“矩形 ABCD”改變為“正方形ABCD”，其余條件不改變，問：∠ABD的度數會變化嗎？

這時，老師可以引導學生“能否單獨改變四邊形ABCD的形狀，而能維持其它條件及問題結論不變”，運用思維發散改變條件，學生就容易從矩形的性質轉化成正方形的性質，把思維聚合回來找到解答方法。

結束語

數學是一門講究思維過程的學科，而發散性思維和聚合思維則是學好數學的關鍵。結合新的思維方式進行教學，留足夠的空間給予學生思考，使學生學會舉一反三，讓學生在思考的過程中享受數學的樂趣，這就是我們需要思維教學。

參考文獻：

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[4]王井影.中考與高考中的數學開放題研究.碩士學位論文.2010年5月

作者簡介：

林燕婷（1978-），女，廣東省清遠市人，本科，廣州市南武中學教導處副主任，研究方向：數學教育、微課在數學教育學中的應用。