淺談配方法的效用

劉代良

摘要：如何轉化問題，使其變的更易解決，在數學教學上，配方法就是一種具體的、有效力、操作性強，易于學習者理解和掌握的轉化方法。在本文中，作者從自身教學實踐出發，分析探究了配方法在因式分解、一元三次方程、學生化歸意識培養上的效用。

關鍵詞：配方法；數學教學；效用；簡化問題

有意識地對問題進行轉化，變為已經解決或易于解決的問題，從而使問題得以解決，這是一條行之有效的途徑。而配方法是一種具體的、很有效力的轉化方法，且操作性強，易于學習者理解和掌握。因此，對配方法的掌握直接關系到學習者對問題的解決能力的培養與提高。本文就配方法的一些作用談點粗淺的看法。

一、因式分解中的配方法

我們在學過用“提公因式法”、“公式法”進行因式分解之后，教材中簡單地介紹了“十字相乘法”，但我認為有必要引導學生探究一種比“十字相乘法”更具一般性的方法，它就是下面所要談及的“配方法”。

下面來看看對幾個多項式進行因式分解的方法。

1.用提公因式法來分解因式：

3x+1+（3x+1）2=（3x+1）（1+3x+1）=（3x+1）（3x+2）

2、用公式法來分解因式：

x2+4xy+4y2=（x+2y）2

3、用十字相乘法來分解因式：

x2+5x+6=（x+2）（x+3）

除上面的幾種方法以外還沒有學過其他的方法，但只要想起平方差公式，我們就會聯想到將2次項與1次項放到一個完全平方式里面，比如：

x2-23x-13 = x2-2x·13+（13）2 -（13）2-13

=（x-13）2-（23）2 = （x-13+23）·（x-13-23） = （x+13）·（x-1）

因此，在“提公因式法”、“公式法” “十字相乘法”不起作用的情況下就要想到使用配方法。使用配方法能夠處理一般的形如

x2+ax+b （這里的a、b都是已知數）的2次3項式的因式分解問題。并且學習配方法可以為以后學習解一元二次方程打下基礎。配方法掌握以后，對“十字相乘法”的理解和掌握也有幫助。配方法操作性強且易于掌握，熟悉之后就能使解決問題的能力得到提高。

二、配方法在解一元三次方程中的應用

利用配方法解一元二次方程，并且得到一元二次方程的求根公式，是大家所熟知的，在這里就不再贅述。下面談談配方法在解一元三次方程中的作用。

對于形如 （x+a）3=b 的一元三次方程，我們是容易知道它的解的。下面我們類比用配方法解一元二次方程而得到的公式解法來探究是否可用配方法解一元三次方程。

對于任意一個一元三次方程都可以很簡單地變成如下的標準形式：x3+ax2+bx+c=0 ，經過配方（即將3次項與2次項放到一個完全立方式里面）可以得到 （x+a3）3+（b-a23）x+（c-a327）=0。此時為了研究的方便起見，利用換元法將該方程轉化為更簡單的形式。令 y=x+a3 則 x=y-a3 代人上式，原方程變為 y3+py+q=0 。

其中 p=b-a23 ，q=c-ab3+2a327

由此可知任何一個一元三次方程都可以化為較為簡單的不含2次項的一元三次方程。現在的問題是，我們怎樣才能將1次項也消去呢？

我們知道 （z-mz）3=z3-3mz+3m2z-m3z3 其展開式中沒有2次項，只有3次、1次、-1次、-3次項，而（y-my ）中只有1次、-1次項，于是通過適當地選取m 的值并令y=z-mz，就有可能消去y3+py+q=0的展開式中的y的1次、-1次項，不妨試一試。

設 y=z-mz 代人y3+py+q=0 中并整理得

z3+（-3m+p）z+（3m2-pm）1z-m3z3+q=0

由上式可知，當 -3m+p=0 時一次項與負一次項的系數均為0。 即： z3-m3z3+q=0 。其中 m=p3

這是一個熟悉的可以解決的方程，解出 z 之后再代入 y=z-mz 之中。于是，我們容易得到方程 y3+py+q=0 的塔塔利亞—卡丹諾的公式解如下：

y1=3-q2+（q2）2+（p3）3+3-q2-（q2）2+（p3）3

y2=ω3-q2+（q2）2+（p3）3+ω23-q2-（q2）2+（p3）3

y3=ω23-q2+（q2）2+（p3）3+ω3-q2-（q2）2+（p3）3

其中 ω=-1+3i2。上面各式中所涉及到的a、b 、c 、d、 s 、t 均為已知數。

于是，根據上面的分析推導過程就可以得到一般的一元三次方程的解法，只要將上面的公式解以及p=b-a23 ，q=c-ab3+2a327 分別代入 x=y-a3 即可得到x3+ax2+bx+c=0 的公式解了。

因此，經過換元、轉化，熟練掌握配方法，就能探究出一元三次方程理想的解法了。

三、配方法對于轉化與化歸意識的培養的作用

在數學解題和研究活動中，我們常常是借助于轉化與化歸思想。化歸意味著用聯系與發展的、運動變化的眼光觀察問題，認識問題。要有意識地對問題進行轉化，把它變為已經解決或易于解決的問題。強調化歸意識，能夠使學生認識到：事物是多方聯系的，解決問題的途徑不是單一的，從而可提醒他們自覺地建立聯想，調整思考方向。

化歸方法是一種間接解決問題的方法。它在數學問題解決過程中的作用就在于轉化，這就是把待解決或未解決的問題進行變形、分割、映射，使之更簡單一些，更具體一些，一直到歸結為一類已經解決或者比較容易解決的問題中去。轉化問題是解決問題的關鍵。數學問題的解決過程就是不斷地發現問題、分析問題，直到化歸為一類已經解決或者比較容易解決的問題的過程。

數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸。如數形結合法體現了數與形的相互轉化；函數與方程思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化。而配方法則是一種強有力的化歸方法，而且操作性強，易于掌握，它對學習者的數學能力的培養和提高是有很大作用的。

四、配方法的建構意義

建構主義者認為：學生不是簡單被動地接收信息，而是主動地建構知識的意義，這種建構是無法由他人來代替的。這其中包括兩個方面，一方面是對新信息的意義的建構，另一方面是對原有經驗的改造和重組；學習者在學習過程中并不是發展起供日后提取出來以指導活動的圖式或命題網絡，而是在面臨新的情境時，依靠以前的經驗背景，能夠靈活地建構起用于指導活動的圖式。

把配方法整合到化歸意識之中，可以改善和豐富學習者對于事物的理解，可以建構新的知識體系。

配方法是一般方法，而十字相乘法只是一種技巧。所謂技巧是指解決問題的一種特殊手段，它只能在某些問題中發揮特殊作用。“技巧”的教育價值遠遠低于一般方法的教育價值。將一般方法中的原理推導部分隱藏起來所得到的方法就是技巧。因此，技巧只是一般方法指導下的特殊用法而已。

“十字相乘法”是對“因式分解”這個概念作逆向思維而導出的一種方法，但該法只能解決一些較為簡單的因式分解的問題，用處不是很大的。

因此，教學者在教授因式分解時就不應該簡單地介紹“十字相乘法”，在沒有弄清原理的情況下，學習者就會感覺到“十字相乘法”是從天而降的。即使掌握了也只是被動地接受了一點知識，在用不上的情況下就會嚴重損害他們的自信心。而引導學生把一般的二次三項式 x2+ax+b 的因式分解的問題化歸到曾經學過的使用平方差公式及完全平方公式分解因式的情形，借助于配方法就能解決問題，從而借以樹立起他們解決問題的信心和改善他們的知識結構，建立起新的知識體系，以及在解決問題的過程中他們的能力也就能夠得到較大的提升。因此，其建構意義是顯然的、深遠的。