數(shù)學(xué)證明方法與算法實(shí)現(xiàn)關(guān)系分析

李珍真

摘要：數(shù)學(xué)證明方法與算法實(shí)現(xiàn)之間存在著較為密切的關(guān)系，只有應(yīng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)證明方法，才能夠更好更快地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。文章主要分析了幾種主要的數(shù)學(xué)證明方法，并陳述了其與算法實(shí)現(xiàn)的關(guān)系，最后提出問(wèn)題的解決方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)證明方法：算法實(shí)現(xiàn)：關(guān)系

在對(duì)數(shù)學(xué)的研究過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在著多種多樣的數(shù)學(xué)證明方法，經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)證明方法有構(gòu)造性證明、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，在實(shí)際應(yīng)用這些方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有的只會(huì)應(yīng)用到其中的一種數(shù)學(xué)證明方法，而有的則需要結(jié)合幾種數(shù)學(xué)證明方法才能夠很好地將相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決。應(yīng)用程序設(shè)計(jì)來(lái)解決數(shù)學(xué)中的算法問(wèn)題有的時(shí)候能夠較容易地加以解決，而有時(shí)候涉及較為復(fù)雜的算法問(wèn)題就會(huì)面臨相應(yīng)的困難。而數(shù)學(xué)證明方法與程序設(shè)計(jì)的算法實(shí)現(xiàn)之間存在著較為密切的關(guān)系，將其結(jié)合起來(lái)有助于更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)注意傳授相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，這對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是非常有幫助的。本研究主要闡述了高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)證明方法。

1 遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法分析

了解高等數(shù)學(xué)的都應(yīng)當(dāng)明確，遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法是在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程常常會(huì)被應(yīng)用到的數(shù)學(xué)證明方法，并且在解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠起到較好的效果。譬如，在學(xué)生學(xué)到線性代數(shù)、數(shù)值分析的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，都多多少少會(huì)應(yīng)用到上述的證明方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法會(huì)有一定的了解，在證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中也會(huì)應(yīng)用到這些方法，但是他們往往對(duì)于這些方法到底是怎么來(lái)的在頭腦中并沒(méi)有明確的認(rèn)識(shí)。但是，學(xué)生所應(yīng)用的遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法都是前人通過(guò)較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過(guò)程所推導(dǎo)出來(lái)的，學(xué)生只有了解了這些方法的推導(dǎo)過(guò)程才能夠?qū)⑵涓玫貞?yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，否則只能是生搬硬套，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。下面通過(guò)具體的例子來(lái)加以說(shuō)明遞推方法與數(shù)學(xué)歸納方法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

譬如在求Flbonacci的數(shù)列1，2，3，5，8，13通項(xiàng)公式中的具體應(yīng)用。通過(guò)分析，能夠得出上述數(shù)列的通項(xiàng)公式，即f（x）=1/√5[（1+√5）/2]n+1一l/√5[（1-√5）/2]n+1（n=0，1，……）。其實(shí)通過(guò)仔細(xì)分析可以明確，以上通項(xiàng)公式是在以下遞推公式的基礎(chǔ)上得出來(lái)的即fo=1，f1=l，fn=fn-1+fn-2（n=2，3，……）。

當(dāng)學(xué)生在看到上面較為復(fù)雜的通項(xiàng)公式時(shí)可能會(huì)感到有點(diǎn)畏懼，這時(shí)候就需要讓學(xué)生明確任何復(fù)雜的公式都是可以應(yīng)用遞推的方法一步步推出來(lái)的，這樣就可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的動(dòng)力。

再比如在求∑ik的求和公式的過(guò)程中，有很多高等數(shù)學(xué)的教科書都會(huì)先引入定積分的相關(guān)公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，與此同時(shí)，將0～1這個(gè)區(qū)間分成n個(gè)等份，將小曲邊梯形的高度用右端點(diǎn)的高度來(lái)加以代替，從而求和來(lái)得出三角形的近似面積，在求和的過(guò)程中應(yīng)注意盡量達(dá)到極限，這樣才能夠使得近似值更加接近準(zhǔn)確的數(shù)值。同樣，在求和的過(guò)程中也會(huì)應(yīng)用到一個(gè)非常重要的公式，即∑i2=[n/（n+1）（2n+1）]/6。當(dāng)列出這個(gè)公式時(shí)，學(xué)生也會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，這么復(fù)雜的公式又是如何得到的呢，這時(shí)教師可以順勢(shì)將這個(gè)公式的遞推公式列舉出來(lái)，從而幫助學(xué)生理解遞推及歸納的數(shù)學(xué)方法。

2 遞歸方法與數(shù)學(xué)歸納法分析

前面所陳述的遞歸方法主要是從簡(jiǎn)單的公式來(lái)推出較為復(fù)雜的公式，但是在應(yīng)用程序設(shè)計(jì)解決算法問(wèn)題的過(guò)程中，卻剛好是相反的過(guò)程，是從較為復(fù)雜的公式來(lái)推出簡(jiǎn)單的公式。應(yīng)用程序設(shè)計(jì)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要優(yōu)勢(shì)是能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單易懂，從而有利于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，但是應(yīng)用程序設(shè)計(jì)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題也存在著劣勢(shì)，即剛開(kāi)始時(shí)的數(shù)學(xué)公式過(guò)于復(fù)雜，需要較大的內(nèi)存容量，計(jì)算的速度也會(huì)較慢，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中會(huì)面臨較多的困難。因此，在應(yīng)用程序設(shè)計(jì)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用一定的遞歸方法是非常有必要的。

譬如，有的算法像Hanoi塔問(wèn)題就需要應(yīng)用到遞歸的數(shù)學(xué)方法，該問(wèn)題具體講的是：在該塔中存在3個(gè)柱子，分別記為A，B，C，在A柱上按照大小順序串?dāng)?shù)量不等、形狀不一的盤子，現(xiàn)應(yīng)用B柱將A柱的盤子挪到C柱上，在挪動(dòng)時(shí)仍然要注意保持大小順序。在計(jì)算該問(wèn)題的過(guò)程中，如果在n不是太大的情況下，利用遞歸的方法能夠很好地將該問(wèn)題加以解決，當(dāng)n比較大使得該問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)用遞歸的方法也會(huì)存在一定的困難。

當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題較復(fù)雜不能夠用遞歸方法解決時(shí)，可以選擇使用循環(huán)結(jié)構(gòu)的方法來(lái)解決數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題，這樣可以保證在較快的速度下解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3 遞推式子計(jì)算的穩(wěn)定性分析

在應(yīng)用遞推式子來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)注意保持遞推式的穩(wěn)定性，因?yàn)橄鄬?duì)其他方法來(lái)說(shuō)，該方法的穩(wěn)定性較差。

譬如在計(jì)算In=∫01xnex-1dx9（n=20），應(yīng)用分部積分的公式可以很好地導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算公式。應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法，這種方法已經(jīng)是較好的計(jì)算方法了，但是在真正運(yùn)用到計(jì)算的過(guò)程中并沒(méi)有表面上看的那么好，會(huì)經(jīng)常存在計(jì)算的誤差，不能夠獲得較為穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，這樣的結(jié)果也是非常不可靠的。

4 理論證明與算法實(shí)現(xiàn)分析

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在高等數(shù)學(xué)中表現(xiàn)得非常明顯，在解決數(shù)學(xué)的問(wèn)題中需要借助較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明，但是理論證明在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中是需要推理的，這使得算法的實(shí)現(xiàn)存在一定的困難。譬如在高等數(shù)學(xué)代數(shù)中矩陣的分解的Schur定理。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用理論證明方法來(lái)實(shí)現(xiàn)算法存在一定的困難。當(dāng)n的數(shù)值較大時(shí)，先明確一個(gè)特征值就存在一定的困難。但是這個(gè)問(wèn)題的最終目標(biāo)就是尋求特征值，而又需要在求解的過(guò)程中將特征值作為己知條件，這就說(shuō)明在計(jì)算的過(guò)程中存在一定的矛盾。

5 反證法、存在性與構(gòu)造性證明

反證法也是在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)使用到的數(shù)學(xué)方法，尤其在解決較為復(fù)雜及困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠起到較好的作用。

但是在應(yīng)用反證法解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)反證法來(lái)說(shuō)明命題的正確性，但卻不能夠很好地去說(shuō)明其命題的具體構(gòu)造性。譬如在證明“不存在最大的素?cái)?shù)”的問(wèn)題時(shí)應(yīng)用的證明方法就是反證法。假設(shè)存在n個(gè)素?cái)?shù)，分別記為nl，n2，n3，……，n4，令P=n1，n2，n3，…，np+l，那么，從中可以明顯看出，P也是素?cái)?shù)。這里面會(huì)存在一定的矛盾，再應(yīng)用矛盾證明命題的正確性。如果設(shè)定一個(gè)自然數(shù)M，在自然數(shù)M中尋找大于M的素?cái)?shù)時(shí)并不能夠求出其具體的公式，這使得尋找大素?cái)?shù)成為一個(gè)較大的困難。

在高等數(shù)學(xué)的有些命題中，確實(shí)存在一些較為隱蔽的己知信息不易被發(fā)現(xiàn)，但是這些隱蔽的己知信息對(duì)于求解數(shù)學(xué)問(wèn)題是非常有必要的。譬如在高等數(shù)學(xué)微積分的Tayor的公式中，應(yīng)用該公式去推導(dǎo)一些基本的函數(shù)公式存在一定的困難，還需要借助其他的公式才能夠解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

有些結(jié)論本身是成立的，也可以應(yīng)用反證法證明其正確性，但在一定條件下也可以采用構(gòu)造法來(lái)加以構(gòu)造，譬如在高等數(shù)學(xué)微積分中常用的Poincare不等式中，就可以應(yīng)用反證法來(lái)證明其存在的合理性，但是在具體應(yīng)用過(guò)程中只是明確其存在性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這時(shí)候就需要一定的構(gòu)造法才能更好地解決該問(wèn)題。

6 問(wèn)題的解決措施

在應(yīng)用上述證明方法時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意堅(jiān)持一個(gè)基本的原則，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)盡量保持簡(jiǎn)潔性。一個(gè)方法越簡(jiǎn)潔，并且也能夠取得相應(yīng)的證明效果，說(shuō)明這個(gè)方法越好。譬如在高等數(shù)學(xué)插值理論中想要證明其存在的唯一性，可以利用的數(shù)學(xué)證明方法有很多，其中的一種證明方法是非常簡(jiǎn)潔的，這種方法只需要證明齊次插值具有唯一的零解即可。但是這種簡(jiǎn)潔的方法也存在一個(gè)很大的缺陷，就是不能夠很好地解決構(gòu)造問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中并不能夠較好地將其內(nèi)在作用發(fā)揮出來(lái)。如果從實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)加以考慮，往往采用插值函數(shù)的方法來(lái)解決上述問(wèn)題。構(gòu)造的方法當(dāng)然應(yīng)用起來(lái)相對(duì)比較復(fù)雜。如果更多的考慮實(shí)際應(yīng)用，往往采用的較好的方法是構(gòu)造法，但是如果構(gòu)造法的使用難度較大，就可以考慮使用較為簡(jiǎn)潔的方法，如反證法、存在性證明的方法等。教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生能夠充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，能夠?qū)W會(huì)解決不同的情況下的不同的問(wèn)題，這樣能夠幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，與此同時(shí)，也能夠讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中提升其數(shù)學(xué)素質(zhì)。

7 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)證明方法與算法實(shí)現(xiàn)之間存在較為密切的聯(lián)系，在應(yīng)用一定的證明方法解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到一定的困難。因此，教師幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明方法的過(guò)程中，也應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生，應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，能夠針對(duì)不同的問(wèn)題選擇最合適的數(shù)學(xué)證明方法，這樣才能夠提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率，從而更好地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

[參考文獻(xiàn)]

[1]趙保華，趙寶銅，李國(guó)華.一般與特殊相結(jié)合的數(shù)學(xué)證明方法淺析[J].高師理科學(xué)刊，2005，25 （4）：118.

[2]郭 思.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何使用數(shù)學(xué)證明[J].中國(guó)科技信息，2005（3）：142.

[3]馬增瑩.師范生數(shù)學(xué)證明素養(yǎng)的調(diào)查研究[J].科教導(dǎo)刊，2011 （7）：175-176.