高職高考中數列求和的幾種方法和技巧

陳偉

【摘要】據統計，2006年以來職業院校累計為中國輸送了近8000萬名畢業生，占新增就業人口的60%，成為中國中高級技術技能人才的主要來源.魯昕表示，職業教育已成為中國發展實體經濟、轉變經濟發展方式、推進產業結構調整和新型城鎮化建設的重要支撐.要在全社會倡導尊重職業人才的價值觀，營造“崇尚一技之長、不唯學歷憑能力”“行行出狀元”的濃厚氛圍.數列的應用在高職高考中占了解答題的25%～28%的分值.數列的求和是數列大題必考題目.要想更好地完成數列的求和問題，必須了解在廣東省高職高考數學試題中數列求和大致的幾種題型，掌握解題的方法和技巧，做到觸類旁通，胸有成竹.以下是筆者對近幾年廣東省高職高考數學試題中有關數列求和問題的歸納和小結.

【關鍵詞】職業教育；高職高考；數列求和

一、直接利用等差數列或等比數列的求和公式求和

例1中將9寫成（10-1），99寫成（100-1），…，99…9寫成（10n-1），不難看出10，100，…，10n成等比數列，利用等比數列的前n項和公式Sn=a1（1-qn）1-q求和.

相關高職高考題：

（2014年）已知數列{an}滿足an+1=2+an（n∈N*），且a1=1.

例2中數列經過拆分得（1+2+3+…+n）和12+14+18+…+12n 兩個部分，前者是等差數列求和，后者是等比數列求和.

相關高職高考題：

（2012年）已知函數f（x）=ax+b，滿足f（0）=1，f（1）=2.

（1）求a和b的值；

（2）若數列{an}滿足an+1=3f（an）-1（n∈N），且a1=1，求數列{an}的通項公式；

（3）若cn=anan+1（n∈N），求數列{cn}的前n項和Sn.

考題解析：問題（3）列出{Cn}的前幾項，發現可以才分成（1+1+1+…1）和12+12×3+12×32+…+12×3n-1，后者為公比為13的等比數列，利用等比數列求和公式求之.

三、錯位相減法求和

錯位相減法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列.

例3求數列22，422，623，…，2n2n，…前n項的和.

解Sn=22+422+623+…+2n2n，①

12Sn=222+423+…+2n2n+1.②

（設置錯位）

①-②得：1-12Sn=22+222+223+…+22n-2n2n+1（錯位相減）

=2-12n-1-2n2n+1，

∴Sn=4-n+22n-1.

例3中②式為設置的錯位，在①式兩邊同時乘分母的公比即可，最后兩式相減，其中22+222+223+…+22n為等比數列前n項和，解之.

相關高職高考題：

（2009年）已知數列{an}滿足a1=b（b是常數），an=2an-1-2n-1（n=2，3，…）.

證明（1）數列an2n是等差數列；

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）求數列{an}的前n項和Tn.

解（1）∵an+12n+1-an2n=-12，且a121=b2，

縱觀近十年廣東高職高考題，裂項法求和主要用于an=nn（n+1）和an=nn+n+1這兩種情況.

相關高職高考題：

（2008年）設f（x）=2xx+2（x≠-2）.令a1=1，an+1=f（an），又bn=anan+1，n∈N*.

（1）證明1an是等差數列；

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）求數列{bn}的前n項和.

解（1）（2）略.

考題解析：數列的通項為f（n）=c（n+a）（n+b）或f（n）=|b-a|n+a+n+b時一般都可以采用裂項法進行求和.

結尾語

廣東省高職高考試題中數列的求和題型基本為以上幾種，筆者歸納于此，希望能為考生提供一定的幫助.

【參考文獻】

[1]周朝陽，劉意.高等職業院校招生考試復習教材·數學[M].北京：中國原子能出版社，2012.

[2]2008年—2015年廣東省高職高考數學試卷[Z].