例析柯西不等式在高中數學中的應用

劉友軍

【摘要】作為高中數學教學任務之中的一個新增課程內容，柯西不等式具有自身的特點，它是數學解題中十分重要的一個工具.在高考中，常利用柯西不等式考查學生能力，因此，應當針對其進行充分研究.

【關鍵詞】柯西不等式；高中；數學

柯西不等式屬于高中階段進行數學教學不可忽略的內容.柯西不等式具有形式便捷、應用性強等幾個方面的特點.近些年以來，我國在高考以及數學競賽方面均開始注意并應用了越來越多的關于柯西不等式方面的知識點.解答此類問題過程中，常會應用到柯西不等式，形成假設條件，建立與結論之間的有效溝通.為此，采取何種方式或者手段利用柯西不等式，是我們需要探究的問題關鍵.

柯西不等式為著名數學家柯西在進行數學分析過程中獲得的.基于歷史角度分析，這個不等式也可以被稱作是Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式.這是因為后兩位數學家均已經在積分學領域之中發(fā)揮出其作用和價值.柯西不等式屬于高中教學中的重要內容，也是現代高中數學研究內容之中的關鍵部分.柯西不等式作為一個至關重要的不等式，本研究中采用了三種方式解析與說明柯西不等式，同時，形成了部分柯西不等式在證明幾何、函數等方面的應用.

下面列舉數例，分析柯西不等式在高中數學中的應用.

案例1幾何題型中的應用

例1（2008年高考試題）直線xa+yb=1通過點M（cosα，sinα），因此（）.

A.ax+bx≤1

B.ax+bx≥1

C.1a2+1b2≤1

D.1a2+1b2≥1

分析結合題意確定柯西不等式為

1=cosαa+sinαb2=cosα·1a+sinα·1b2

≤（cos2α+sin2α）1a2+1b2，

因此，可以知道1a2+1b2≥1，所以，正確答案為D.

本題在解題方法上可以選擇較多形式，但是通過柯西不等式進行解答則效果最佳，讀者或可以嘗試其他方法進行解答.

案例2柯西不等式應用在數列與不等式中的應用

在高考試題中柯西不等式通常應用于數列與不等式證明中，如下例題所示.

例2已知數列{an}首項a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，3，….

（1）求{an}通項公式；

（2）證明：x>0，an≥11+x-1（1+x）223n-x，n=1，2，3…；

（3）證明：a1+a2+a3+…+an>n2n+1.

該例題是高考中較常見的題型之一，也是壓軸問題.上述例題中（1）（2）較為簡單，針對（3）的解題方法分析如下：

由已知任意的x>0，則

a1+a2+…+an≥11+xk-1（1+x）223-x+11+x-1（1+x）2232-x+…+11+x-1（1+x）2·23n-x=n1+x-1（1+x）223+232+…+23n-nx，

所以，取x=1n232+…+232=231-13nn1-13，

則得出

a1+a2+…+an≥n1+1n1-13n=n2n+1-13n>n2n+1.

所以，原不等式成立.

柯西不等式在教材中的應用與實踐檢驗時間不長，但其已經逐漸成為高考中的重點題型.通過靈活把握柯西不等式解題方法，能夠提高解題效率，對培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)有著重要作用.

結束語

綜上所述，借助柯西不等式解答試題的核心就是依據題目特征，構造符合題意的項，進一步獲取關于柯西不等式方面的結構.針對相應項目進行構建的過程中也應當結合實際情況，確保合理性.例如，分母應當為0，平方根非負等是基本條件.結合全文可知道，準確運用柯西不等式，以此，可以更好地證明數據各類問題.并將復雜數學問題進行簡化處理.

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