積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的幾個(gè)應(yīng)用

師亞萍

【摘要】本文探討了用積分求解經(jīng)濟(jì)總量、資本現(xiàn)值及投資回收期、計(jì)算消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余的幾個(gè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題.

【關(guān)鍵詞】積分；經(jīng)濟(jì)學(xué)；實(shí)際應(yīng)用

積分是微積分學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，是求解非均勻變化過程中總量問題的有力工具.特別是作為一種量化分析方法，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用更加廣泛.下面我們探討積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的幾個(gè)應(yīng)用.

一、由邊際函數(shù)求經(jīng)濟(jì)總函數(shù)及經(jīng)濟(jì)總量

經(jīng)濟(jì)函數(shù)為F（x），它的邊際函數(shù)為F′（x）.若已知邊際函數(shù)F′（x），由微積分基本公式知

F（x）=∫F′（x）dx，F(xiàn)（0）=c0，

當(dāng)變量x由a到b時(shí)，總函數(shù)的改變量為∫baF′（x）dx.

例1設(shè)某產(chǎn)品的邊際收入是R′（x）=200-x200（元/年），求：①總收益函數(shù)；②生產(chǎn)100個(gè)單位到200個(gè)單位產(chǎn)品獲得的收入.

解① R（x）=∫200-x200dx，R（0）=0，

則R（x）=200x-x2400.

② R（200）-R（100）=∫200100R′（x）dx=200x-x2400200100=19925.

二、計(jì)算資本現(xiàn)值及投資回收期

設(shè)年利率為i，每年計(jì)息m次，則n期后的復(fù)利終值為

F=P1+immn.

若某項(xiàng)投資P為連續(xù)復(fù)利，則有

F=limm→∞P1+immn=P·ein，

則現(xiàn)值P=Fein=F·e-it.

若假定收入流以每年a元進(jìn)行，則在T年內(nèi)的收入總現(xiàn)值可用定積分表示為

P=∫T0ae-itdt=-ai·e-itT0=ai（1-e-iT）.

例2若某企業(yè)給成本價(jià)格單筆投資100萬元，年利率為3%，該企業(yè)在15年內(nèi)可以按每年30萬元均勻獲得收入，試求該投資收入的總現(xiàn)值及凈現(xiàn)值.

解根據(jù)條件已知，a=30，i=3%，T=5，

則收入的總現(xiàn)值為P=303%（1-e-15%）≈139.3（萬元），

凈現(xiàn)值為P-100=39.3（萬元）.

投資回收期是指在考慮資金時(shí)間價(jià)值的情況下，每年的凈收益回收項(xiàng)目全部投資所需要的時(shí)間，就是總收益的現(xiàn)值等于初始投資時(shí)所需的時(shí)間.

由ai（1-e-iT）=A，得T=1ilnaa-Ai.

例3若某企業(yè)投資A=800（萬元），年利率為5%，設(shè)在20年內(nèi)的均勻收入為a=200（萬元/年），則投資回收期為多少？

解T=10.05ln200200-800×0.05=20ln1.25≈446（年）.

三、計(jì)算消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余

消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者在購買一定數(shù)量的商品時(shí)愿意支付的總價(jià)格和實(shí)際支付的總價(jià)格之間的差額.生產(chǎn)者剩余是指生產(chǎn)者銷售某種商品所得到的款項(xiàng)與其生產(chǎn)成本之間的差額.設(shè)需求函數(shù)為P=f（Q），供給函數(shù)為P=g（Q），當(dāng)需求與供給達(dá)到平衡時(shí)，此時(shí)的價(jià)格稱為均衡價(jià)格P0，數(shù)量稱為均衡數(shù)量Q0.在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格與數(shù)量在不斷圍繞均衡價(jià)格P0與均衡數(shù)量Q0進(jìn)行上下調(diào)整.

則消費(fèi)者剩余=∫Q 00f（Q）dQ-P0Q0，

生產(chǎn)者剩余=P0Q0-∫Q 00g（Q）dQ.

例4某商品市場(chǎng)的需求函數(shù)為Q=1003-23P，供給函數(shù)為Q=-20+10P.求市場(chǎng)均衡價(jià)格、均衡數(shù)量及生產(chǎn)者剩余與消費(fèi)者剩余.

解解方程1003-23P=-20+10P，得均衡價(jià)格P0=5，均衡數(shù)量Q0=30.

消費(fèi)者剩余=∫30050-32QdQ-5×30=675，

生產(chǎn)者剩余=5×30-∫300Q10+2dQ=45.

【參考文獻(xiàn)】

[1]候風(fēng)波.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[2]王永祥.應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2004.

[3]陳勇.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型[J].成功（教育版），2013（08）：274.