高中數學教學需要研究學生的學習過程

胡智

[摘 要] 在高中數學學科核心素養的視角下，研究數學教學的有效性，就必須關注學生的學習過程. 從教學設計時預設學生的學習過程，到教學過程中觀察學生的學習過程，再到教學反思中理解學生的學習過程，可以將學生的數學學習全程把握在教師的手里，從而保證學生的數學知識構建. 此中從數學文化以及思想方法角度再進行滲透，也就可以培養學生的核心素養.

[關鍵詞] 高中數學；學習過程；知識建構；核心素養

在傳統的高中數學教學中，存在著一個基本的認識，那就是數學知識的學習是為數學應用服務的，而這個數學應用往往又是指利用數學知識來解題. 顯然，這樣的認識主要來源于當前的評價機制，從客觀角度來看，這一現狀是難以改變的. 但長此以往的教學方式，帶來的最大不足就是有意無意地對學生學習過程的忽視，尤其是新知構建過程中學生的一些具體思考細節的忽視，而這對于當前討論得非常熱烈的數學核心素養的培養來說，是一個明顯的缺陷. 無法想象，在對學生學習過程缺乏關注的情況下，學生的數學核心素養還能夠有效提升. 高中階段的數學學習，具有內容繁雜且思維要求高的特征，而這其實正是數學學科的核心素養培養的重要時機，因為在筆者看來，只有經由縝密甚至是復雜的思維，數學才能更近地靠近其核心素養內核. 從這個角度來講，研究學生的學習過程，是每一個數學教師的基本功. 而基于這樣的認識，筆者在教學中也特別關注學生的學習過程以及學習細節，并從中揣摩到了學生在數學學習中呈現出來的一些基本特點. 下面就以“任意角的三角函數”教學為例，談談筆者的實踐與思考.

[?] 教學設計中預設學生的學習過程

教學設計的過程，可以有兩種基本理解，一是為自己的教學過程搭建一個框架；二是對學生的學習過程做一個預設. 顯然，前者是指向教師的，是為了教師的“教”服務的，某種程度上來講其保證了教師教學任務的完成；而后者則是指向學生的，是為了學生的“學”服務的，其是為了保證學生學習任務的完成. 雖然從教學關系的角度來看，兩者并沒有矛盾，但后者顯然更能保證“以生為本”教學理念的落實，也能讓數學教學更好地落到實處. 當前高中數學教學有一個最基本的原則，那就是“以學定教”，顯然，學生的“學”更應當成為教師在教學設計中關注的重點. 而筆者的實踐表明，在教學設計的過程中預設學生的學習過程，可以為教學流程的把握奠定基礎.

任意角的三角函數的教學，筆者設計了這樣的三個基本環節：首先，通過一個問題的提出，如畫出一個任意的銳角，讓學生判斷正弦、余弦、正切等. 這一步設計的目的是讓學生在原有知識的基礎上，復習鞏固這三個三角函數的基本定義，同時判斷學生在面對任意角的三角函數時，會有什么樣的直覺反應. 比如說看學生在計算任意角的三角函數的時候，會不會認為函數的值與所取的點的位置有關. 其次，在單位圓的基礎上，筆者設計用幾何畫板，將原先給出的任意銳角進行變化，以使這個角更具有“任意”的特征，讓學生去思考如何有效地定義這個角的正弦、余弦與正切. 這是一個在學生原有認知基礎上進行拓展，以任意角的三角函數的定義為抓手，培養學生數學概念理解的過程. 最后，在形成定義的基礎上，結合此前函數學習的認識，去判斷任意角三角函數的定義域，并學會用弧度表示這一定義域.

在這一教學設計過程中，筆者預設學生在第一個步驟里，學生可以根據給出的那個任意的銳角，從直角三角形的角度去求得三個三角函數的值，因為從直角三角形的角度定義三角函數，是學生建立函數認識的基礎，學生應當有比較扎實的經驗. 而在此基礎上將參考系從直角坐標系轉換為單位圓，則是結合高中數學學習的特點，進行的一種三角函數概念建立的體系轉換. 第三個步驟實際上也具有同化特征，因為此前學習過的關于函數的知識，可以讓學生認識到定義域是三角函數的基本組成部分，唯一需要努力的可能是在弧度制的運用上. 筆者進一步預設學生的學習順利程度：第一個環節應當是最順利的；第二個環節是難度較大的，需要教師的引導；第三個環節相對也要容易一些.

[?] 教學過程中觀察學生的學習過程

到了實際教學的過程中，對學生學習過程的觀察，決定了這一節課教學的有效程度，也決定了學生在數學學科的核心素養培養的道路上能夠走多遠. 這個觀點從理論角度來理解是沒有任何問題的，畢竟其有著顯然的合理性. 但從教學實踐的角度來看，卻有著挑戰性，因為教師在更多的情況下，關注的是自身的教學思路是否能順利實現，骨子里期待的是學生的學習過程能夠像自己所想象的那樣順利. 但事實并不盡然如此，當然也因為這種“意外”，數學教學研究才有了更大的意義.

比如第一個教學環節，讓學生用已有的知識去判斷一個任意角的三個三角函數值的時候，筆者發現以幾何畫板任意給出的銳角，對于學生來說卻是一個較大的挑戰，因為學生熟悉的是特殊角的三角函數值，是通過記憶在思維里形成了印象. 而任意角的三角函數值的計算，卻成了問題，幾乎很少有學生能意識到可以通過直角坐標系來解決問題. 這個時候怎么辦？筆者的做法是幫學生復習三角函數此前的定義，讓學生認識到直角三角形是解決問題的思路. 這一步比較順利，學生一經提醒，就知道了問題的關鍵所在. 而下一步就比較關鍵，筆者提出可不可以將直角三角形納入到直角坐標系當中去. 學生起初感覺遲疑，因為直角三角形與直角坐標系還是有不同的，學生最大的不適應，就是將直角三角形中的直角邊、斜邊的大小，要轉換成坐標系中的坐標. 這個時候就進入了教學的第二個環節，此過程中教師的引導很重要，當然教師引導的依據也是學生實際的學習情況. 根據筆者的觀察，學生此時表現出的最大困難，就是“長度”向“坐標”的轉換，而這一步又是下一步利用單位圓構建任意角的三角函數的基礎，因此要引導好. 事實上，學生理解的困難主要在不適應坐標可以比較長度上，而筆者的引導則是幫學生進一步認識坐標系的作用，尤其是坐標系在確定某個點的位置的時候，其實也是具有長度特征的. 有了這樣的認識，學生的思維基本上就可以實現轉換了.

到了第二個環節，構建任意角的三角函數的定義. 此處，幾何畫板這一現代教學手段所起的作用非常直觀——任意給出角，可以讓學生認識到所研究的對象角確實是“任意”的，這也就將學生思維中原有的特殊角轉換成了任意角，從而實現了從特殊到一般的學習思路的轉變，而這才是本課教學的一個重點. 在此前一個環節的學習中，筆者已經通過變式訓練，讓學生認識到一個角的三角函數值與構建直角三角形或坐標系中位置的確定是沒有關系的，關鍵取決于角的大小. 在此基礎上筆者提出新的問題：能否將其中的某條線確定為單位長度，然后這個任意角的三角函數就可以不用計算而獲得？這從結果描述上來說，自然是學生所歡迎的，但如何才能達到這個目標呢？于是“單位圓”就成為此處研究的重點了. 課堂教學的實踐表明，部分學生對“單位圓”中的“單位”一詞存在疑惑，而這個疑惑千萬不能忽視，因為其是學生認識單位圓的基礎，教師有必要向學生解釋——這是教學中的一個重要細節問題. 而有了這樣的鋪墊，當單位圓成為學生熟悉的一個基礎時，任意角的三角函數構建也就順利多了.

最后的一個重點就是讓學生適用弧度來表示函數值與定義域. 筆者注意到學生在此環節中表現出的學習困難主要在于角度制與弧度制的轉換的順利程度上，以及任意角的三角函數與單位圓的關系，也就是說學生還不大適應在單位圓上構建對三角函數的認識. 筆者以為，這決定了在近期的教學中，單位圓都不能急于放掉，而這恰恰是傳統數學概念教學中的一個容易忽視的地方，總認為概念出來之后，概念形成的途徑就不再需要關注了.

[?] 教學反思中理解學生的學習過程

在課后的反思過程中，筆者進一步分析學生的學習過程，發現其中存在著一些在教學設計時沒有關注到的盲點. 如學生在從直角三角形向直角坐標系轉換的時候，表現出來的不適應，讓筆者有些著急，因為這個環節原本沒有設計太多的時間，但學生表現出來的困難如果不重視，那學生后面的學習又可能會出現“空中樓閣”的情形. 因此實際教學中只好慢下來，讓學生努力做好直角三角形向直角坐標系的轉換. 后來想想，這與日常教學中沒有強調數形結合與轉換可能有一定的關系. 直角三角形更多是以“形”的形式出現在學生的面前，而直角坐標系雖然是一個圖形，但其實更多的是“數”的加工，難怪學生的學習會有困難. 后面在利用單位圓的時候，實際上也有這個問題. 因此筆者在教學中即時調整，強調讓學生形成數與形的認識，讓他們知道數與形在此處都可以服務于任意角三角函數概念的建立. 而這樣的認識對于高中生來說，理解上并沒有困難，甚至可以進一步認為，他們只是缺少這一理論上的指引.

進一步反思，筆者以為高中數學教學重視學生的學習過程，實際上是把握了學生數學學習的本質，也是抓住了數學學習的細節. 有了這個細節把握，真正的數學建構就有可能高效發生，數學核心素養的培養也就有了堅實的基礎.