多做題，會做題，巧做題

彭慧

[摘 要] 自主高效的數學學習離不開興趣與熱情的激勵. 高中數學抽象、枯燥，想要讓學生從心底煥發出主動學習的動力，為了能讓學生在完成必要習題的同時不失學習熱情，教師就需要從習題本身入手，通過增加習題趣味的方式來提升教學實效.

[關鍵詞] 數學；趣味；習題

學習數學總是少不了做題，在高中階段的知識學習當中，更是出現了數量較多、難度較大的習題. 對于學生來講，想要高質量地接受這些習題并不是一件容易的事情. 一方面，數量增加的習題，為學生添加了不小的課業負擔；另一方面，難度增加的習題，對學生的思維能力來講提出了很大的挑戰. 這些都難免會引發學生對于高中數學學習的畏懼與抵觸心理，而這也必然成為阻礙高效學習推進的內在因素. 為了能讓學生在完成必要習題的同時不失學習熱情，教師們就需要從習題本身入手，通過增加習題趣味的方式來提升教學實效.

[?] 運用創新性習題，增加關注趣味

數學學習進入到高中階段之后，靈活性顯著增強. 也正是這種靈活性的存在，為題目趣味的挖掘提供了多種可能. 對題目呈現的方式進行細致分析便會發現，雖然都是對知識內容進行訓練，題目形式卻不一定都要以一成不變的形態來進行. 將題目形式加以創新，將待考查的內容與全新的途徑融合起來，將會為學生帶來不一樣的練習感受.

例如，在對概率統計的內容進行教學時，筆者多次引入了創新性習題. 這部分知識內容雖然不是各類考試當中的得分重點，卻是在每次測試當中都會出現的. 若掌握得好，將會成為歷次測試中的平穩得分點；而若是掌握不好，即使其他部分答得再好，也無法彌補這部分問題的失分. 對于這部分內容的教學，需要在不耗費過多時間、精力的基礎上達到優質效果. 為此，筆者選擇從習題設計形式上加以趣味創新，讓興趣推動高效學習的進行. 如圖1所示，在一個水平放置的矩形平面上隨機撒出300個小球，且該矩形的寬是2，長是5. 經統計，在圖中陰影部分里散落了138個小球. 由此，能否估算出陰影部分的面積？表面看來，陰影部分是一個不規則圖形，運用公式計算面積顯然是不可能的. 當學生想到了概率統計的方法之后，立刻恍然大悟. 這種創新性的問題設置，刷新了學生對于這部分知識考查的慣常理解，新穎性和趣味性都提升了不少.

從問題形式上加以創新，能夠讓學生從接觸習題一開始就有一個耳目一新的感覺. 這種新鮮感往往就是推動學生啟動思考的原動力. 將知識內容隱藏得深一些，為習題多添加一些單純題目之外的敘述與形態，便可以為習題增加諸多趣味，引導學生快樂地展開思考.

[?] 運用層次性習題，增加思考趣味

將一個難度較大的問題直截了當地擺出來，總是會對學生的思維能力提出嚴峻考驗，這也很容易讓學生失去對思考的激情. 這時，如果能夠將習題進行一種層次化設計，將一個難度較大的問題拆分為兩個或是更多數量的小問題予以提出，在降低思考難度的同時，也會為習題本身增加不少趣味.

例如，在對立體幾何內容進行教學時，筆者曾經在課堂上設計了這樣一道習題：如圖2所示，在四面體的底面△BCD中，∠BCD是一個直角，BC邊與CD邊的長均為1，且AB與底面BCD垂直，∠ADB的度數是60°. 在AC邊與AD邊上分別有動點E，F，其中，AE與AC的長度之比同AF與AD的長度之比相等，均為λ（0<λ<1）. （1）求證：無論λ的取值如何，都有平面ABC與平面BEF垂直. （2）若要使得平面ACD與平面BEF垂直，應當將λ的值確定為多少？

如果直接將第二個問題提出，對于學生思維的挑戰是很大的，也很容易讓知識能力一般的學生畏懼、遠離. 而多設置了第一問進行鋪墊之后，習題的分析難度有所降低，也在無形之中提示了解題方向. 在這種層次性解題的搭建之下，學生更加樂于投入到逐個問題的思考當中. 一次次小問題的成功解答，也會持續不斷地為學生提供心理上的自信，鼓勵他們的思考逐漸走向深入.

每個問題的推理思考都是存在一個循序漸進的思維過程的，將這個思維過程當中的重要節點摘要出來，設計成為一個問題，就會形成一個層次性深化的問題串. 這種層次性習題的設置，從教學技術角度來講并不困難，卻可以為整個習題思考過程增加很多思考趣味.

[?] 運用實踐性習題，增加應用趣味

讓學生感到高中數學知識枯燥的原因主要是其理論性過強. 的確，對于這個年齡階段的學生來講，大面積、持續性的純理論覆蓋，很容易讓他們覺得毫無學習興趣可言. 這時，如果能在理論之中適當加入一些實際應用的元素，便能夠大大改善這種現狀. 應用的過程本身就是一種趣味，它不僅可以為單一的學習過程轉換氣氛，還可以為學生帶來學以致用的成就感.

例如，在對球體的內容進行教學時，筆者先向學生介紹了基本概念與公式等內容. 待大家對這部分知識較好地掌握之后，筆者在課堂上引入了這樣一道習題：如圖3所示，在水平地面上有一個透明材料制成的正方體容器，且正上方沒有蓋子，容器的邊長是8厘米. 有一個球形物體，其大小正好可以卡在正方體容器口上. 現向該容器中加水，直至水面正好與球面相接觸，此時容器內的水深度達到了6厘米. 若容器側壁與底面的厚度可以忽略不計，則這個球體的體積是多少？這個問題雖然很明確地對球體的體積計算知識進行了考查，但卻是以一個實踐的形態加以呈現的. 這個方式很好地讓學生體會到了應用的趣味，在實際操作的感知下提升了知識適用的效果.

應用問題在高中數學的各類測試當中并不鮮見，將之運用到課堂教學過程之中去也很方便. 在實踐性習題的帶動下，學生的數學思維很自然地從課本上遷移到了生活中，不僅看到了數學知識的全新面貌，更在應用的同時完成了更為深化靈活的知識理解，顯著提升了習題訓練的實際效果.

[?] 運用靈活性習題，增加延伸趣味

每一個模塊的數學知識都不是停滯不動的，而總是存在著拓展與延伸的空間. 這既是高中數學學習的挑戰所在，也是趣味之處. 將基礎性的習題不斷進行靈活變化，引導學生的知識思維走向開闊，也是增加習題趣味的另一個有效途徑. 這樣的習題常常可以將數學的生命力展現出來，讓學生逐漸喜歡上思考的感覺.

例如，在對三角函數的內容進行教學時，為了能夠將學生的思維打開，筆者特意設計了這樣一道習題：一調研小組希望掌握某海域海浪高度的變化規律，進而制定出一份關于該海域是否適合開展沖浪運動的報告. 他們構建了一個函數y=f（t），其中，y（單位：m）表示該海域的海浪高度，t（單位：時）（0≤t≤24）則表示時間. 通過對海浪高度進行全天候測量，記錄數據如表1所示. 觀察分析后發現，函數y=f（t）的曲線可以近似地視為函數y=Acosωt+b（ω>0）. （1）結合表格當中的數據，寫出函數y=Acosωt+b的表達式及其振幅A和最小正周期T. （2）為了保證安全，只有海浪高度超過1 m時，才能進行沖浪運動. 那么，在每天8：00至20：00的時間區間內，適合進行沖浪運動的時間有多少？這個問題在三角函數基本知識的基礎上進行了一個靈活拓展，成功擺脫了死板的公式套用，借助探究問題調動了知識運用. 在這樣的過程中，學生的參與熱情得到了顯著提升.

從上述范例當中不難看出，運用靈活性習題開展教學對于高中數學教學來講具有雙重價值：一是實現了教學目標的要求，將學生的知識水平提升了一個檔次；二是為問題的思考過程增加了很多靈活樂趣，成功吸引了學生的自發關注. 在教學過程當中多加入一些這樣的習題，對于學習興趣提示與知識理解延伸都是很有益處的.

自主高效的數學學習離不開興趣與熱情的激勵. 特別是對于高中階段的學習來講，面對愈發抽象枯燥的知識內容，想要讓學生從心底煥發主動學習的動力，就要從知識本身的優化入手. 高中數學內容雖然從抽象性與難度性上都有了不小提升，但是，其中的學習趣味仍然很多. 只要教師們能夠將這些趣味發掘出來，就必然可以激發學生對之進行關注和探索的熱情. 從本文當中的論述也不難發現，數學習題的趣味散發點是很多的，抓住這些切入點，便可以很順利地在保質、保量的習題訓練當中實現教學實效的提升.