以學生為圓心、課標為半徑，圓數學教學之理想

李建明

[摘 要] 數學課堂教學中一個比較普遍的問題是：教師習慣以高考為導向，不關注學生的擁有與需求，不注重課標的定位與要求. 這種教學應付考試是保險的，但于學生數學素養的提升是不利的，與課改的要求是相悖的. 本文以高三復習課為例闡述要提升學生數學素養，課堂教學須注意的幾個方面：遵循認知規律，重整體強聯系；強化數學閱讀，突破理解障礙；把握問題本質，理解知識價值；善用思想策略，啟迪數學智慧.

[關鍵詞] 學生；圓心；課標；半徑；數學素養

曾經聽到一位重點中學的優秀畢業生在談到對高三學年的學習體會時說：高三這一年的數學復習把人練笨了！這句話讓筆者很驚詫，一直無法釋懷，時時會想起.希望通過課堂復習教學讓學生得到的思維訓練、提升的能力素養都哪去了？為什么教學的理想與學生反饋的現實結果反差如此之大？帶著這些疑問，筆者開始了觀察與反思，發現在高三復習課中多數教師習慣于以高考為導向，高考考什么就重點復習什么，就讓學生練什么，所以考試說明與復習用書成了教師的法寶，不關注學生的擁有與需求、不注重課標的定位與要求是現在復習課中一個比較嚴重的問題.本文談點個人在高三復習教學實踐中的一些做法與體會，歡迎批評指正.

[?] 遵循認知規律，重整體強聯系

章建躍博士在一次報告中談到學生對數學知識的理解遵循如圖1的一個自下而上的過程，這個過程的本質是不斷地抽象、概括，它的理想目標是從具體事物的個別規律——同類事物的普遍規律——數學整體上的思想觀念.

但在實際數學課堂教學中，因各種客觀原因，課堂教學就事論事的現象比較普遍，學生對知識系統的整體把握較差，對知識間的聯系性掌握不清，對數學思想與觀念的理解也不能到位，這些都直接影響到學生數學核心素養的提升.數學教學設計必須考慮到學生當前的數學學習需求，為學生鋪設進一步發展的階梯. 在高三復習教學設計中要注意學生所掌握的知識點與方法逐個積累的特點，要注重對知識進行系統性的梳理，確保學生能從整體性上把握知識體系，同時加強知識間聯系性的梳理，有效彌補這一缺陷.

例1：已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是

f（x）

在區間[-1，1]的最大值，證明：當

a

≥2時，M（a，b）≥2.

分析：由f（x）=

x+

+b-，得對稱軸為直線x=-，

≥1，故f（x）在[-1，1]上單調，

所以M（a，b）=max{

接下來的問題在于如何研究這兩個數的絕對值的大小，那么首要的問題就是關于絕對值我們學了哪些知識？學生在回憶與討論中提出來下列關于絕對值或與絕對值有聯系的知識：

絕對值絕對值定義

分類討論去絕對值

平方去絕對值

V字形函數

絕對值三角不等式

點線距離公式

那么這些知識與方法是否都可以用以解決這個問題呢？

思路1：絕對值定義，根據定義，此式可理解為數軸上動點1+b到兩定點-

的距離之和，可知此距離之和有最小值2

≥4，可得M（a，b）≥2成立.

思路2：分類討論去絕對值

當a≥2時，由f（1）-f（-1）=2a≥4，得max{f（1），f（-1）}≥2；

當a≤-2時，由f（-1）-f（1）=-2a≥4，得max{f（-1），-f（1）}≥2，

綜上，當|a|≥2時，M（a，b）≥2.

思路3：平方去絕對值

f 2（1）=（1+a+b）2=1+a2+b2+2ab+2a+2b，

f 2（-1）=（1-a+b）2=1+a2+b2+2b-2a-2ab，

f 2（1）+f2（-1）=2（1+a2+b2+2b）=2a2+2（b+1）2≥2a2≥8，

則必有max{f 2（1），f 2（-1） }≥4成立.

思路4：V字形函數

思路5：絕對值三角不等式

根據抽屜原理，這兩個數中至少有一個大于等于2.

思路6：點線距離公式

區域a≤-2或a≥2內的點到兩直線距離和的最小值.

從上述分析思路可以看到：正是因為存在知識間的聯系性，才有問題解決方法的多樣性！

學生從高一、高二新課所接受到的知識與方法多數是零散的，學生所需求的是對知識的系統性理解，對知識與方法的聯系性的把握. 如果學生對高中數學的每一章、每一個數學分支的知識的整體性與聯系性都有這種清晰的認識與把握，那么他對數學的認知與理解就會越深刻，長此以往，學生的數學核心素養就能不斷得到提升與培養，在問題解決過程中的知識與方法的運用才能做到得心應手.

[?] 強化數學閱讀，突破理解障礙

學生在數學問題解決中的難度一般有兩種：一是“深度難度”，指對知識點考核的深度比較大；二是“形式難度”，形式難度主要表現于題型上新穎，背景陌生或者符號化語言突出. 陌生的背景、創新的題型，學生不熟悉，所考的知識點雖然不難，但學生閱讀理解時容易“發蒙”，對題意的理解存在障礙，影響答題. 另外符號語言的抽象性也會給學生閱讀理解題意帶來很大的障礙. 隨著新課改的深入，這兩年高考試題的一個趨勢是“以形式換深度”，學生考試時感覺試題難，主要體現在“形式難度”上.

例2：設函數f1（x）=x2，f2（x）=2（x-x2），f3（x）=sin2πx，

ai=，i=0，1，2，…，99，記

Ik=fk（a1）-fk（a0）+fk（a2）-fk（a1）+…+fk（a99）-fk（a98），k=1，2，3，則（ ）

A. I1

C. I1

這是浙江省2014年高考第10題，學生初識此題真正感覺到的難度是整個題目只有5個中文字，高度符號化的語言所帶給學生的抽象性讓學生“頭腦發蒙”，很多學生在考場中根本看不懂題目給了什么條件，要做什么事情，直接放棄. 數學描述客觀事物的語言有三種：文字語言、符號語言、圖形語言. 文字語言易懂，圖形語言直觀，符號語言簡練，但符號語言的簡練是源于它的抽象，而正是這種抽象又使學生在理解上帶來困難. 教學上要重視符號語言的閱讀理解，突破的方法主要有抽象符號具體化，符號語言圖示化表格化.

例3：一個二元碼是由0和1組成的數字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生碼元錯誤（即碼元由0變為1，或者由1變為0）.

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組：x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，

x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，

x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，

其中運算⊕定義為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.

現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發生碼元錯誤后變成1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于________.

此題的背景與高中數學知識幾乎無關聯，其難度不在于學生平時知識掌握的程度，更不在運算復雜上，而在于其背景知識的新穎性與陌生感，學生初讀題目頭腦中會冒出一系列問題：二元碼是什么？碼元錯誤是怎么回事？校驗方程組有什么作用？一個碼元錯誤的二元碼如何判定錯元是哪個呢？

[?] 把握問題本質，理解知識價值

經常聽一些高三復習課，老師講解得很精彩，學生也聽得很認真，從練習的反饋看學生也掌握得不錯，但如果問一些基本的數學問題，比如：本堂課為什么要學習這節內容？這節知識你認為有什么價值與作用？ 學生卻無從回答.學生對課堂教學內容知識的接受停留在要我學我就學并努力學好的狀態，而至于為什么要學，學了它有什么用之類的問題幾乎沒人會有思考.

例4：平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ，μ，使a=λe1+μe2.

定理表明了平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量表示出來，這為我們運用向量方法研究問題帶來了極大的方便，這也是向量作為解決數學問題的工具的最為強大的功能之所在. 這是學生在本節課的學習中理應達成的目標，但在實際課堂教學中這一目標實現了嗎？本人多次詢問剛復習了這節課后的高三學生；平面向量基本定理有什么用？它有怎樣的功能與價值？你對定理的強大功能與價值有體會嗎？很多學生很茫然.

例5：關于“tanα=” 的功能與價值.

在三角函數定義學習之后我們會學習三個三角函數間的關系：sin2α+cos2α=1，tanα=.如果僅是停留于了解掌握這三種三角函數間存在這兩種關系上，這對本節內容知識的本質的認知是不到位的，對該公式的功能與價值的教學是不足的，對學生數學素養的提升是欠缺的.比如公式“tanα=”，它反映了三種三角函數間存在這種特定的等量關系，同時作為一個公式，它的功能是可以像一座橋梁一樣溝通左右，它的價值就在于可以實現“切與弦”之間的互相轉化. 比如在解決問題“4cos50°-tan40°=_______（2013年重慶高考）”時學生就能迅速做出“切化弦”的決策；在遇到問題“已知α∈R，sinα+2cosα=，則tan2α=________（2013年浙江高考）”時，就能提出“弦化切”的辦法.

一個人只有了解把握所需研究問題的本質之所在，才能真正地理解問題并找到問題解決之突破口；同樣也只有在明確所學知識的功能與價值之所在，才能更有興趣更自主地學習這一知識，才能在問題解決的過程中更好地發揮這些知識的功能與價值.

[?] 善用思想策略，啟迪數學智慧

數學是思維的體操，是智慧的化身.任何數學問題的解決過程中無不體現著問題解決者的思想、方法、策略與智慧，數學教學除了要傳授給學生必要的數學知識外，更重要的是學生能在學習過程中學會主動地提出問題、學會積極地思考問題、學會靈活地運用數學方法、學會智慧地運用策略思想，特別地，如果能在今后的生活工作中把數學學習中沉淀下來的理性思維與智慧策略體現出來，這就是數學教育教學的真正成功，這需要數學課堂的長期熏陶.

例6：已知在△ABC中，sinA（sinB+cosB）-sinC=0，sinB+cos2C=0，求角A，B，C的大小.

分析：由A+B+C=π，與sinA（sinB+cosB）-sinC=0聯立，

可消去一元，問題是消哪個元呢？

如果不做思考分析，隨意消元（比如消A或B）就可能致使問題無法解決.

注意觀察且三角公式熟悉度高的學生就能迅速做出判斷：消C是正道！

從而化簡可得：sinA=cosA，A=；

于是B+C=，又sinB+cos2C=0.

同樣的問題再一次出現：B，C兩個量消哪個呢？是不是消任何一個都可以解決問題？是不是消任何一個運算的難度都一樣呢？如果注意觀察，可以發現如果消C，可以運用誘導公式從而簡化運算過程.

很多問題的解決會有不同的方法選擇，但也并不是一個問題的解決方法介紹得越多越好，不同方法之間必然存在知識與能力上的差異，對學生素養的培養與提高所起的作用也必然會有優劣之分，那么如何在不同方法面前不經歷過程就能做出選擇的策略，這就是我們需要學習與掌握的策略性知識.

例7：已知不等式x2-1≥a

對?x∈R恒成立，求a的取值范圍.

分析：這是聽一節課時一個例題的后半部分，當該例題講到出現這個不等式時，學生被卡住了，這時教師提出了以下幾個引導性問題供學生思考.

問題1：你看到的是什么？（面對的是什么問題？）

——不等式恒成立問題.

問題2：不等式恒成立問題一般運用什么知識研究？你有這方面的經驗嗎？

——不等式恒成立問題應該用函數思想來研究解決！

問題3：如果運用函數來研究該不等式，你會研究什么函數？你有不同的方法選擇嗎？

——方法1：移項整理，研究一個函數f（x）=x2-1-a

方法2：研究比較兩個函數：f（x）=x2-1，g（x）=a

方法3：研究參數分離后得到的函數：f（x）=.

接下來老師問了個很有價值的思考問題：在考試狀態下你會用什么方法來解決？這就要求學生在不經過驗算過程的情況下做出決策采用哪種方法來解決這個問題會更優化，學生如果能經常有機會思考這種策略性的問題，能夠有機會嘗試做出最優化的決策，才能在學習與問題解決過程中有策略選擇的意識與思考，長期堅持，學生的數學思維素養必將得到很好的培養與提升.

理想的高中數學教學活動要樹立以發展學生數學核心素養為導向的教學意識，創設有利于學生數學核心素養發展的教學情境，引導學生把握數學內容的本質，啟發學生思考，學生通過三年的數學教學活動其理性思維得到良好的培養、其數學核心素養得到很好的提升. 為此，數學課堂教學特別是高三復習教學一定要立足學生，以學生的所學作為生長點，以學生的不足與需求為出發點來思考設計教學內容，以課標要求的范圍與難度為尺度標準來把握教學，以發展學生數學核心素養的根本目標來定位評價教學.